3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学活动设计方案

直线的倾斜角与斜率

【课时】直线与方程第1课

【课型】新授课

【目标】能够结合具体图形探索确定直线位置的几何要素；理解直线倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式

【重点】斜率的概念；代数方法刻画直线斜率的过程；过两点的直线斜率计算公式

【难点】斜率与直线倾斜角的关系

【过程】

数学史回眸

在十七世纪以前，代数学主要集中在一些方程解的研究上，统治数学的是古希腊学者欧几里得整理流传下来的几何学，人们热衷于根据各种图形中点、线、面的关系研究图形的性质，但这种由图形研究图形性质的方法往往需要某种奇思妙想，辅助线、面的添加技巧较高，因而要证明或产生某个新的定理非常困难；在这种背景下，一些数学家开始致力于思考用其它方式来研究几何图形的性质，其中的杰出代表是法国数学家笛卡尔与费马.笛卡尔和费马单独提出：在直角坐标系中，用方程表示曲线，通过对方程的运算达到对曲线性质的认识目的.用代数运算研究几何图形的性质，具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑.这种方法沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系，促进了微积分的创立，数学从此进入了变量数学的新时期

高中阶段，笛卡尔和费马创立的解析几何内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程三部分，我们将体会如何给几何曲线找到方程的翅膀，进而通过对方程的运算完成对几何曲线性质的认识；由于直线是最简单的几何曲线，接下来让我们一起走进直线的世界

直线的倾斜角与斜率

问题1 如图，经过一点A的直线有无数条，你认为可以怎样借助直角坐标系把这些直线区分开来呢？（几何画板动画演示）

y

略解

显然，经过点A的不同直线其方向不同（以坐标系为基

A

准，过点A的这些直线与坐标轴有什么不同的关系），因

O

而可以利用直线与坐标轴形成的角来区分不同的方向

x

问题2 用直线与x轴所形成的角作区分标准比较符合我们的习惯，如图，直线l与x轴相交形成四个角，你认为选取哪一个角比较合理？

y

略解

l

由于坐标轴具有方向，因而选取角时可以发挥这个方向的

作用，以x轴的正方向为基准，作为角的一边，以直线向

上的射线为角的另一边，这样形成的角就可以区分直线不

O

x

同的倾斜程度，称这样的角为直线的倾斜角

问题3 由直线倾斜角的定义，你认为倾斜角的取值范围是什么？能表示经过点A的所有直线吗？

略解

由定义得直线倾斜角的范围是(0,180)，不能表示与x轴平行或垂直的直线；当直线平行

或垂直于x轴时，为了简单，规定直线的倾斜角为0，故倾斜角取值范围是[0,180)；由此，请同学们总结出直线倾斜角的定义（板书课题）

1.直线倾斜角的定义

若直线与x轴相交，则称直线向上的方向与x轴的正方向所成角为直线的倾斜角；若直线与x轴平行或垂直，规定直线的倾斜角为0

问题4 倾斜角是在直角坐标系下刻画直线倾斜程度的一个量，但这是用几何方法刻画的；能否将直线的倾斜程度用代数方法来刻画呢？在我们的已有经验中有没有刻画倾斜程度的数量呢？

略解

以前我们涉及过坡角与坡度这两个描述倾斜程度的量，其中坡角是几何量，坡度是升高量与前进量的比值，即坡角的正切值，是一个代数量，因而可以类比山坡的坡度，引进直线倾斜角的正切值描述直线的倾斜程度，通常称直线倾斜角的正切值为直线的斜率

2.直线斜率的定义

直线的倾斜角的正切值tan叫做直线的斜率，常用字母k表示为ktan(90)

问题5 若P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)是直线l上不同的两点，请探讨能否用P,Q的坐标去表示直线l的斜率k

略解：过点P,

Q分别作x轴与y轴的平行

线，当倾斜角为锐角时，tany

y

Q



O



P

l

l

O

Q



P

y2y1

x2x1x



x

当倾斜角为钝角时，tan()

问题6 当直线l与x轴平行或重合时，ky2y1yy1yy1，则tan2；综上得斜率k2

x1x2x2x1x2x1y2y1yy1还成立吗？等式k2与P,Q两点坐标的x2x1x2x1前后顺序有关吗？等式k略解

y2y1中为什么要规定x1x2呢？

x2x1当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角0，则tantan00，而ky2y10，故x2x1仍成立；由于ky2y1y1y2，故与两点的坐标谁在前谁在后无关；若x1x2，则分x2x1x1x2

母为零，式子y2y1无意义，因而并非所有直线都存在斜率，仅当倾斜角不为90时才存x2x1在斜率

3.直线的斜率公式

设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)是直线l上不同的两点，则斜率ky2y1（体会代数量刻x2x1画几何量的坐标思想）

例题

求下列各题中直线的斜率，并判断直线的倾斜角是锐角、钝角、还是直角

①A(3,2),B(4,1)；②A(0,1),B(4,1)；③A(m,2),B(4,1)

略解①

由k121y2y1，由ktan0，得倾斜角(4,1)，得斜率k，又A(3,2),B437x2x1是锐角

略解②

由k1(1)1y2y1，由ktan0，得倾，又A(0,1),B(4,1)，得斜率k402x2x1斜角是钝角

略解③

由ky2y1(x1x2)，又A(m,2),B(4,1)

x2x1211，m(4)m4则m4时，直线AB无斜率，倾斜角是直角；m4时，得斜率k由ktan，当m4时，倾斜角是锐角，当m4时，倾斜角是钝角

小结

本节课通过直角坐标系，用直线与x轴形成的角——倾斜角，来区分过同一点的不同直线；又引进斜率把直线的倾斜角代数化，进而用坐标表示斜率，从而能够借助代数运算来研究几何问题；但注意直线的斜率有一个缺点，就是不能表示与x轴垂直的直线，倾斜角为90的直线的斜率不存在，这时只能单独处理

作业

必修二教材第89页

习题3.1 A组第1，2，4，5题；90页B组第5题

附：可以考虑再讲一节课，着重于利用正切函数图象，倾斜角与斜率的转换