1.2.1 充要条件名师教学设计

充要条件

[导入新知] 充分条件与必要条件

命题

真假

推出

关系

条件

关系

[化解疑难] 1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．

2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.

[提出问题] 如图是一物理电路图．

问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？

提示：一定闭合．

问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？

提示：p⇔q. [导入新知] 充要条件

如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．

[化解疑难] “若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q

p是q的充分条件

q是p的必要条件

pq

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．

[例1] 判断下列各题中p是q的什么条件．

(1)在△ABC中，p：cosA＝cosB，q：A＝B；

22

(2)p：x＞1，q：x＞1；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(4)p：a＜b，q：＜1. [解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cosA＝cosB，则A＝B；反之，若A＝B，则cosA＝cosB.因此，p是q的充要条件．

(2)由x＞1可以推出x＞1；由x＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；

当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b. 因此p是q的既不充分也不必要条件．

[类题通法] 充分、必要、充要条件的判断方法

判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．

[活学活用] 指出下列各组命题中p是q的什么条件．

(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；

(2)p：(x－1)＋(y－2)＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形四边形是平行四边形，

222222222abababababab四边形的对角线相等，

∴p是q的既不充分也不必要条件．

(2)∵(x－1)＋(y－2)＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，

而(x－1)(y－2)＝0(x－1)＋(y－2)＝0，

2222∴p是q的充分不必要条件.

[例2] 试证：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [解]

(1)必要性：

因为方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根，

所以Δ＝b－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. (2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．

所以方程ax＋bx＋c＝0有两个相异实根，

且两根异号，

即方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

[类题通法] 充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

[活学活用] 11已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0. 2222222cacaxy11证明：(1)必要性：由＜，

xy11y－x得－＜0，即＜0，

xyxy又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0. (2)充分性：由xy＞0及x＞y，

xy11得＞，即＜. xyxyxy11综上所述，＜的充要条件是xy＞0. xy[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

[解] 因为p是q的充分不必要条件，

所以p⇒q但q⇒/ p，

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，

1－m＜－2，所以1＋m≥10

1－m≤－2，或1＋m＞10，

解得m≥9.

所以实数m的取值范围为{m|m≥9}. [类题通法] 应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．

[活学活用] 111．“sin α＝”是“cos 2α＝”的(

) 22A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11112解析：选A 由cos 2α＝可得sinα＝，即sin α＝±，故sin α＝是cos 2α24221＝的充分不必要条件．

22X,y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．

[解析] 綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈p⇒綈q，而綈q⇒/ 綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．

[答案] 必要不充分