3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计及教案分析

3.1.1

空间向量及其加减运算

学习目标

1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.

知识点一

空间向量的概念

思考

类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. 梳理

(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，→→则向量a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|. (2)几类特殊的空间向量

名称

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

知识点二

空间向量的加减运算及运算律

思考1

下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a. 定义及表示

规定长度为0的向量叫做零向量，记为0

模为1的向量称为单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

答案

如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α→→→→→→→→内，以任意点O为起点作OA＝a，OB＝b，则OC＝OA＋OB＝a＋b，AB＝OB－OA＝b－a.

思考2

由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？

答案

先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则. 梳理

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

→→→OB＝OA＋AB＝a＋b，

→→→CA＝OA－OC＝a－b. (2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a，

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

类型一

有关空间向量的概念的理解

例1

给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a→―→＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B 解析

两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b

→满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC―→＝A1C1成立，故③正确；④显然正确.故选B. 反思与感悟

在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反. →―→→跟踪训练1

(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：①AB与C1D1；②AC1与→→→→→BD1；③AD1与C1B；④A1D与B1C.其中互为相反向量的有n对，则n等于(

)

A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B →―→→→→→解析

对于①AB与C1D1，③AD1与C1B长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1与BD1→→长度相等，方向不相反；对于④A1D与B1C长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对. (2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？

②试写出模为5的所有向量. →③试写出与向量AB相等的所有向量. ―→④试写出向量AA′的所有相反向量. ―→―→―→―→―→解

①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′，A′A，BB′，B′B，CC′，―→―→―→C′C，DD′，D′D，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个. ―→―→―→―→②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′，D′A，A′D，DA′，―→―→―→―→BC′，C′B，B′C，CB′. →――→→――→③与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′，DC及D′C′.

―→―→―→―→―→④向量AA′的相反向量有A′A，B′B，C′C，D′D. 类型二

空间向量的加减运算

例2

如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.

―→→(1)AA′－CB；

―→→――→(2)AA′＋AB＋B′C′. ―→→―→→―→→―→解

(1)AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AD′. ―→→――→―→→――→―→――→―→―→―→(2)AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.

引申探究

―→――→――→―→利用例2题图，化简AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A. 解

结合加法运算

―→――→―→―→――→―→―→―→AA′＋A′B′＝AB′，AB′＋B′C′＝AC′，AC′＋C′A＝0. ―→――→――→―→故AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A＝0. 反思与感悟

(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终―→―→―→―――→―→点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An. →→→→(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB＋BC＋CD＋DE→→→→＋EF＋FG＋GH＋HO＝0.

(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b). (4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律. →→→→→→(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝(OA＋AB)＋BC＝OB＋BC＝OC，a＋(b

→→→→→→＋c)＝OA＋(AB＋BC)＝OA＋AC＝OC，

所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). →―→―→―→跟踪训练2

在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

证明

∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

→→→―→→―→―→→―→∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，

→―→―→→→→―→→―→→→―→∴AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′). ―→―→→→又∵AA′＝CC′，AD＝BC，

→→―→→→―→→―→―→∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′. →―→―→―→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

1.下列命题中，假命题是(

) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等

答案

D →2.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有(

) A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

答案

C →―→→―→解析

与AD相等的向量有A1D1，BC，B1C1，共3个. 3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(

) A.a＝b

C.a与b方向相同

答案

D B.a＋b为实数0 D.|a|＝3

解析

向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：

→→→→―→―→→→―→→―→―→①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.其中→运算的结果为AC1的有________个. 答案

4 解析

根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

→→→→→→①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；

→―→―→→―→→②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；

→→―→→―→→③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；

→―→―→→―→→④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1. →所以4个式子的运算结果都是AC1. →→→→→5.化简2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝________. 答案

0

→→→→→→→→→→→→解析

2AB＋2BC＋3CD＋3DA＋AC＝2AB＋2BC＋2CD＋2DA＋CD＋DA＋AC＝0.

1.一些特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

40分钟课时作业

一、选择题

1.下列说法正确的是(

) A.零向量是有方向的向量

B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

→→C.四点A，B，C，D构成平行四边形ABCD的充要条件是AB＝DC

→→D.若AB与CD是相反向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上

答案

A 解析

规定零向量的方向是任意的，故A正确；B中所有单位向量的终点构成球面而不是→→圆，故B错误；对于选项C，是必要条件，不是充分条件，因为AB＝DC时，有可能A，B，C，D四点共线，故C错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上. →→→2.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则AB＋BC＋CD为(

) →→→A.AD

B.BD

C.AC

D.0

答案

A →→→→→→解析

AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. →→→→3.如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则AD为(

)

1111A.(a＋b)－c

B.(c＋a)－b

C.(b＋c)－a

D.a＋(b＋c) 2222答案

C 1→→→→1→→解析

AD＝AO＋OD＝－OA＋(OB＋OC)＝－a＋(b＋c). 22→→→4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果是(

) →→→→A.BD1

B.D1B

C.B1D

D.DB1

答案

A

→→→→→→→→→→解析

如图所示，∵DD1＝AA1，DD1－AB＝AA1－AB＝BA1，BA1＋BC＝BD1，

→→→→∴DD1－AB＋BC＝BD1.

―→→→5.在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设AA′＝a，AB＝b，AC＝c，M是BC′→的中点，N是B′C′的中点，如图所示，用向量a，b，c表示向量MN等于(

)

1111111A.a＋b＋c

B.a＋b＋c

C.a＋b

D.a

2222222答案

D →1―→1―→1解析

MN＝BB′＝AA′＝a.故选D. 2226.判断下列各命题的真假：

①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为(

) A.2

B.3

C.4

D.5 答案

B 解析

①假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段. 二、填空题

→→→→→→7.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＋AD＋AA1＝________；DD1－AB＋BC＝________.

→→答案

AC1

BD1

→→→→→→→解析

AB＋AD＋AA1＝AB＋BC＋CC1＝AC1. →→→→→→→→→DD1－AB＋BC＝DD1－(AB－AD)＝DD1－DB＝BD1. →→→8.对于空间中的非零向量AB、BC、AC，有下列各式：

→→→→→→→→→→→①AB＋BC＝AC；②AB－AC＝BC；③|AB|＋|BC|＝|AC|；④|AB|－|AC|＝|BC|.其中一定不成立的是____________.(填序号) 答案

②

→→→→→→解析

根据空间向量的加减法运算，对于①：AB＋BC＝AC恒成立；对于③：当AB、BC、AC→→→→→→→→→方向相同时，有|AB|＋|BC|＝|AC|；对于④：当BC、AB、AC在一条直线上且BC与AB、AC方→→→向相反时，有|AB|－|AC|＝|BC|. 只有②一定不成立. →→→→9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________. 答案

－a＋b－c

→→→→→→→→→解析

如图，A1B＝A1A＋AB＝C1C＋(CB－CA)＝－CC1＋CB－CA＝－c＋b－a.

→→→→10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB－CD＋BC－DA＝________. →答案

2AC

→→→→→→→→→→→解析

AB－CD＋BC－DA＝(AB＋BC)－(CD＋DA)＝AC－CA＝2AC. 三、解答题

11.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式.

→→(1)AB＋BC；

→→―→(2)AB＋AD＋AA′；

→→―→(3)AB＋CB＋AA′；

―→―→→(4)AC′＋D′B－DC. →→→解

(1)AB＋BC＝AC. →→―→→―→―→(2)AB＋AD＋AA′＝AC＋AA′＝AC′. →→―→→→―→―→(3)AB＋CB＋AA′＝AB＋DA＋BB′＝DB′. ―→―→→→→―→→→―→→→(4)AC′＋D′B－DC＝(AB＋BC＋CC′)＋(DA＋DC＋C′C)－DC＝DC. 12.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

→→(1)CB＋BA1；

→→1→(2)AC＋CB＋AA1；

2→→→(3)AA1－AC－CB. →→→解

(1)CB＋BA1＝CA1. (2)因为M是BB1的中点，

→1→所以BM＝BB1. 2→→又AA1＝BB1，

→→1→→→→所以AC＋CB＋AA1＝AB＋BM＝AM. 2→→→→→→(3)AA1－AC－CB＝CA1－CB＝BA1.

→→→向量CA1，AM，BA1如图所示.

13.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，EF，点E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简

→→→(1)AB＋BC＋CD；

→→→(2)AB＋GD＋EC，并标出化简得到的向量. →→→→→→解

(1)AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. (2)∵点E，F，G分别为BC，CD，DB的中点. →→→→∴BE＝EC，EF＝GD. →→→→→→→∴AB＋GD＋EC＝AB＋BE＋EF＝AF. →→所求向量AD，AF如图所示.