3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示精品学案

空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标

1、

知识与技能

理解空间向量基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、

过程与方法

通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、

情感、态度与价值观

通过本节课的学习,养成积极主动思考,不断拓展创新的学习习惯

和品质.

教学重点

理解空间向量基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

教学难点

理解空间向量基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

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教学过程

复习：共线向量定理:对空间任意两个向量a、（bb0），a//b的充要条件是存在实数，使a＝b。共面向量定理:如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb。平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a＝1e1＋2e2。（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）平面向量的正交分解及坐标表示yaxiyjai(j1,0iojx

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问题：我们知道，平面内的任意一个向量用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定p都可以a,b理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？OPOQzk.OQxiyj.zOPOQzkxiyjzk.由此可知，如果i,j,k是空间两P两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组kp{x,y,z}使得pxiyjzk.iOjy我们称xi,yj,zk为向量p在Qi,j,k上的分向量。x探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k，你能得出类似的结论吗？空间向量基本定理：如果三个向量pa,b,c不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc.任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。a,b,c都叫做基向量

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特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。（2）由于可视意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着0为与任意一个非零向量共线，与任它们都不是0。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使OPxOAyOBzOC.当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。例1平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN.A1D1解:连AN,则MN=MA+ANB1NC1MA=－113AC =－3(a+b)AAN=AD+DN=AD－NDDM= 13（2 b+ c)BC∴MN= MA+AN= 13（－a+ b+ c)

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练习.空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则OMN=( ).(A) 12a－23b+ 12cM(B)－23a+ 12b+ 12cAC(C) 1N2a+ 12b－23cB(D) 23a+ 23b－12c单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}来表示.k空间向量

ii,j,k为基底

j有序实数组 p

一一对应

(x,y,z)

pxiyjzk

下面我们类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系

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一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}以点O为原点，分别以i,j,k的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz. x轴、y轴、z 轴，都叫做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量i,j,k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.对空间任一向量a,由空间za向量基本定理，存在唯一的有序实A(a1,a2,a3)数组(a1,a2,a3),使aa1ia2ja3k.k有序实数组(a)就

iOjy1,a2,a3叫做a在这一空间直角坐标系下 a(a,ax的坐标. 记为12,a3). 在空间直角坐标系O –xyz中，对空间任一点A, 对应一个向量OA,于是存在唯一的有序实数组x, y, z,使OAxi点yjA的坐标为zk(如图).我们说,(x,y,z),记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.显然, 向量OA的坐标，就是点A在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).z即OA(x,y,z)A(x,y,z)

也就是说,以O为起点的有向线kA(x,y,z)i段(向量)的坐标可以和点的坐标Ojy建立起一一对应的关系,从而互相x转化.

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二.例题讲解：例2 设xab,ybc,zca,且a,b,c是空间的一个基底,给出下列向量组①a,b,x②x,y,z③b,c,z④x,y,abc,其中可以作为空间的基底的向量组有( )CA. 1个B. 2个C. 3个D.4个D1C1分析:能否作为空间的基底,即是判A1B1断给出的向量组中的三个向量是否共面,由于a,b,是不共面的向量c,DC所以可以构造一个平行六面体直观判断AB设aAB,bAA1,cAD,易判断出答案例3如图3.116,M,N分O别是四面体OABC的边OA,BC的中点,P,Q是MN的三M等分点用向量.OA,OB,OCQAPC表示OP和OQ.NB解OPOMMP图3.11612OA23MN12OA23ONOM122OA3ON12OA1216OA32OBOC

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16OA13OB13OC;OOQOMMQM1OA1MNQ23APC12OA1N3ONOMB图3.11612OA113ON2OA13OA1312OBOC13OA116OB6OC.变式空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上, 且BN=2NC,设OAa,OBb,OCc,用向量a表示AN,MN.A,b,cMANa13b23c,BOMN34a13b23cNC

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练习1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．练习2.

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练习:3.已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，试用基底OA,OB,OC表示向量OGO解：在△OMG1中，MOGOMMG2OA23MNAGC12N2OA3(ONOM)11B6OA3OB13OC

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