1.2.2 充要条件优质课教案内容

1.2.2充要条件（教学设计）

教学目标：

知识与技能目标：

（１）

正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（２）

正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （３）

通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

过程与方法目标：

在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

教学过程：

一、复习回顾：

1、命题：若p，则q (1)若pq，且q

p.则P是q的充分不必要条件

(2)若p

q，且qp.则p是q的必要不充分条件

(3)若pq，且qp.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件

(4)若p

q，且q

p.则p是q的既不充分与不必要条件

备注：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。

二、创设情境，新课引入：(课堂提问）

问题1：探讨下列生活中名言名句的逻辑关系．

（1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竞成

（4）头发长，见识短 （5）名师出高徒 （6）放下屠刀，立地成佛

（7）兔子尾巴长不了 （8）不到长城非好汉 （9）春回大地，万物复苏

（10）海内存知己 （11）蜡炬成灰泪始干 （12）玉不琢，不成器

说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分．

在数学中有很多可逆的命题，如

（1）若a是无理数，则a+5是无理数；

（2）若a>b,则a+c>b+c; （3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0．

这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是命题的条件具有充要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。

三、师生互动，新课讲解

例1 指出下列各组命题中,p是q的什么条件 (在“充分而不必要”、“必要而不充分”、

“充要”、“既不充分也不必要”中选一种) (1)p:(x-2)(x-3)=0; q:x-2=0 (2)P :同位角相等; q:两直线平行

(3)p:x=3; q:x2=9 (4)p:四边形的对角线相等; q:四边形是平行四边形

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例2.下列命题中,p是q的什么条件? (1)p:x是6的倍数; q:x是2的倍数

(2)p:x是2的倍数; q:x是6的倍数

(3)p:x既是2的倍数也是3的倍数; q:x是6的倍数

(4)p:x是4的倍数; q:x是6的倍数

例3.下列命题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:b=0, q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数

(2)p: x>0,y>0, q:xy>0 (3)p:a>b, q:a+c>b+c 例4.已知:圆O的半径r,圆心O到直线l 的距离为d,求证:d=r是直线l 与圆O相切的充要条件

例５．证明：ax２＋bx＋c＝０有两个实根的充要条件是b２－４ac≥０

1．相关的概念

由以上例子可得如果既有pq，又有qp，就记作pq。我们就说，p和q互为的充要条件。

说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.

⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”. 2.充要条件的判断方法

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

⑴确定条件是什么，结论是什么；

⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；

⑶确定条件是结论的什么条件.、

⑷充要性包含：充分性pq，必要性qp这两个方面，缺一不可。

例1（课本P11例3）：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

2（１）

p:b＝0,q:函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数；

（２）

p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

（３）

p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

（４）

p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10 22（５）

p: a ＞ b ,q: a

＞ b

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题（２）中，pq ,但q 

p，故p 不是q的充要条件；

命题（４）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件； 命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；

变式训练1：已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

2答案

D 解析

根据平面向量数量积的坐标运算及垂直的条件求解．

∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，

∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x. 又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0. 例2（课本P11例4）：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相

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B．x＝－1

C．x＝5

D．x＝0

切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

证明过程略（见课本P11）．

变式训练2：

求证实系数一元二次方程x2pxq0有两个异号根的充要条件是q0.

解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。

证明：（1）先证充分性

∵q0.

∴方程x2pxq0的p24q0

∴方程x2pxq0有两个不相等的实根，设其为x1，x2。

∵x·1x2q0

∴方程x2pxq0有两个异号实根

（2）再证必要性

∵方程x2pxq0有两个异号实根，设其为x1，x2

∴x·1x20

∵x·1x2q

∴q0

由（1）（2）原命题得证。

课堂练习（课本P12练习，NO：1；2）

例3：已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.

解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}

如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有

222a0,1a2, 解得0＜a≤3. 1a10.变式训练3：已知p：2x10；q：1mx1mm0．若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由于p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件

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1m2m9

于是有101m评析

注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立. 它亦等价于证明：

(1)原命题和否命题都成立；

(2)逆否命题和逆命题都成立；

(3)逆否命题和否命题都成立. 这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化. 四、课堂小结，巩固反思：

1、命题：若p，则q (1)若pq，且q

p.则P是q的充分不必要条件

(2)若p

q，且qp.则p是q的必要不充分条件

(3)若pq，且qp.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件

(4)若p

q，且q

p.则p是q的既不充分与不必要条件

五、【课后作业】

一、选择题：

1．“x2>2 013”是“x2>2 012”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

由于“x2>2 013”时，一定有“x2>2 012”，反之不成立，所以“x2>2 013”是“x2>2 012”的充分不必要条件．

2．设{an}是等比数列，则“a1

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

答案

C 解析

{an}为等比数列，an＝a1·qn1，由a10，q>1或a1<0,0

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

{an}为递增数列．反之也成立．

3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2

B．m＝2

答案

A 解析

当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 4．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，

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C．m＝－1

D．m＝1 B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

也可能x，y均为偶数．

5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0. 16．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的(

) 2A．充分不必要条件

C．充分必要条件

答案

A 解析

解不等式后直接判断．

1x>或x<－1，

不等式2x2＋x－1>0的解集为x2B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1故由x>⇒2x2＋x－1>0，

21但2x2＋x－1>0D⇒/x>，故选A. 27．平面α∥平面β的一个充分条件是(

) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案

D 解析

当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．

8．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

C 解析

由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，

则有cos〈a，b〉＝±1. 即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与

b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.

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→→9．在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“AB·AC<0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

B →→→→解析

当△ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有AB·AC<0；但当AB·AC<0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形．

10．

“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的( A ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

11.“A∩B=A”是A=B的(B ). A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

12．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

C 解析

A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，

C＝{x∈R|x<0或x>2}，

∵A∪B＝C，

∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

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