1.1.2 四种命题教学设计及课堂实录

1.1.3

四种命题间的相互关系

1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(难点) 3．利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点、易错点) 一．预习

教材整理1

四种命题

阅读教材P4～P6，完成下列问题．

1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

2．四种命题的形式

原命题：若p，则q. 逆命题：若q，则p. 否命题：若¬p，则¬q. 逆否命题：若¬q，则¬p. 练习

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有的命题没有逆命题．(

) (2)四种命题中，原命题是固定的．(

) (3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”．(

) 【解析】

(1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错．

(2)四种命题中原命题具有相对性，故(2)错．

(3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，故(3)错．

【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

教材整理2

四种命题间的相互关系

阅读教材P6～P8，完成下列问题．

1．四种命题之间的相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

(2)四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

练习：

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有．(

) (2)两个互逆命题的真假性相同．(

) (3)命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数有3个．(

) 【解析】

(1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命题，故(1)对．

(2)两个互逆命题的真假性无关，故(2)错．

(3)原命题和逆否命题正确，否命题和逆命题错误，故(3)错．

【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

二．新授课

类型一：四种命题的概念

例1 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0; (3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 【精彩点拨】

根据四种命题的结构写出所求命题．

【自主解答】

(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；

否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；

逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；

否命题：如果x≤10，那么x≤0；

逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；

否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；

逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2. 小结：

1．写出一个命题的其他三种命题的步骤

(1)分析命题的条件和结论；

(2)将命题写成“若p，则q”的形式；

(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．

注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

2．常见词语的否定

词语

是

都是

＞

至少有n个

至多有n－

1个

练习1．(1)命题“若m＞n，则m－1＞n－2”的逆否命题为________．

(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：

①正数的平方根不等于0；

至多有n个

至少有n＋

1个

【导学号：26160005】

否定

不是

不都是

≤

②若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0. 【解析】

(1)若m－1≤n－2，则m≤n. (2)①逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；

否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；

逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．

②逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；

否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；

逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R)．

类型二

四种命题真假的判断

例2 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：

(1)正偶数不是素数；

(2)平行于同一条直线的两条直线平行．

【精彩点拨】

→判断真假

【自主解答】

(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；

逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；

否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；

逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题．

(2)“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题．

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题．

否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题．

逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题．

小结：

把命题改写成“若依据定义写出→

p，则q”的形式另外三种命题

在判断一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假．

练习2．下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．

其中是真命题的是________．

【解析】

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题．所以真命题是①②③. 【答案】

①②③

[探究共研型] 探究：

等价命题的应用

探究1

我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？

【提示】

可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

探究2

根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的理论基础？

【提示】

是反证法的理论基础．

例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假. 【导学号：26160006】

【精彩点拨】

法一：分析已知命题→写出逆否命题

→利用Δ求a的范围→判断命题真假 法二：判断原命题真假→判断逆否命题真假

【自主解答】

法一

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

真假判断如下：

∵抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

若a<1，则4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

法二

先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

7即4a－7≥0，解得a≥. 47因为a≥，所以a≥1，所以原命题为真．

4又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．

小结：

这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法，先写出逆否命题，后判断，如法一；二是间接法，不写逆否命题，从判断原命题的真假证明逆否命题的真假，如法二．

练习：3．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 【解】

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，

若a＋b＜0，

则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．”

∵当a＋b＜0时，a＜－b，b＜－a，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，

即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．