小结教案（名师）

§3.2立体几何中的向量方法（1）

教材分析

本节是高中数学人教A版教材《选修2-1》第三章“空间向量与立体几何”第二部分，是在学习了空间向量的概念及其运算和空间向量运算的坐标表示的基础上设计的，主要介绍立体几何中的向量方法，即在立体几何中，把立体几何问题转化为空间向量问题。本大节所讲的向量方法包括两种：一种是向量的几何运算的方法，即选择空间基底解决问题的方法；另一种是向量的坐标运算的方法，即建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算解决问题的方法。这也是近年高考立体几何解答题的命题趋势。

学情分析

通常，按照传统方法解决立体几何问题，需要学生有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

教学目标

知识与技能

1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念；

2.

理解平面法向量的求法；

3. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直等立体几何问题．

过程与方法

1. 经历直线方向向量和平面法向量的概念的探索，掌握直线的方向向量与平面的法向量的定义；

2. 经历平面法向量求法的探索，理解平面法向量的求法；

3. 通过研究平行、垂直关系与向量之间关系的联系，理解用向量方法证明平行、垂直关系的方法。

情感、态度与价值观

通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历转化思想、数形结合思想的思维过程，品尝到成功的喜悦。

重点难点

教学重点：

1. 直线的方向向量和平面法向量的定义；

2. 平面法向量的求法；

3. 向量在证明平行、垂直关系中的应用。

教学难点：

1. 平面法向量的求法；

2. 向量在证明平行关系中的应用。

教学方法

问题驱动、类比思考、启发引导、自主探究

教学辅助

多媒体辅助教学，空间实物想象

学习过程

一、课前准备

复习1：如何用空间向量解决两条异面直线所成的角？

复习2：

可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？

复习3：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，a=

；ab＝

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活动设计：学生思考回答，教师对学生的发言进行点评和补充。

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：

向量表示空间的点、直线、平面

问题1：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

新知：

⑴

点：

在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示，向量OP称为点P的位置向量。

⑵

直线：

①

直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量。

②

向量a是直线l的方向向量，对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得APta。

⑶

平面：

①

空间中平面的位置可以由内两个不共线向量a，b确定。

平面内两条直线相交于点O，他们的方向向量分别为a，b，P为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序数对(x,y)，使得OPxayb。这样点O和向量a，b不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示内任意一点。

②

空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置。

⑷

平面的法向量：如果直线l，取直线的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量，

a⊥。

试试：

. 1.如果a,b都是平面的法向量，则a,b的关系

. 2.向量n是平面的法向量，向量a是与平面平行或在平面内，则n与a的关系是

.

反思：

1. 一个平面的法向量是唯一的吗？

2. 平面的法向量可以是零向量吗？

3. 平面的法向量与平面内任意向量的关系？

探究任务二：求平面的法向量

问题2：在已知平面内点或向量坐标的情况下，如何求平面的法向量？

例1

已知三点A1,2,1,B3,0,2,C(5,3,4)，求平面ABC的一个单位法向量。

思路分析：依据立体几何线面垂直的判定定理，要求平面的法向量，就在平面内取两个不共线向量，令法向量与之垂直。

解答（略）

答案(,1322,)

33

探究任务三：研究空间位置关系的向量表达

⑸

向量表示平行、垂直关系：

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,

的法向量分别为u,v，则

①

线线平行：

l∥ma∥bakb

②

线面平行：

l∥auau0

③

面面平行：∥u∥vukv

④

线线垂直：

lmabab0

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⑤

线面垂直：

la∥uaku

⑥

面面垂直：uvuv0

活动设计：学生在教师指导下，根据自己所掌握的立体几何相关定义进行自主探究。

※

动手试试

练1. 设a,b分别是直线l1,l2的方向向量，判断直线l1,l2的位置关系：

⑴

a2,1,2,b6,3,6；

答案：平行

⑵

a1,2,2,b2,3,2；

答案：垂直

⑶

a0,0,1,b0,0,3。

答案：平行

练2. 设u,v分别是平面,的法向量，判断平面,的位置关系：

⑴

u2,2,5,v6,4,4；

答案：垂直

⑵

u1,2,2,v2,4,4；

答案：平行

⑶

u2,3,5,v3,1,4。

答案：相交

※运用新知

例2棱长为a的正方体AC1中，E,F,P分别为C1B,C1D1,DD1的中点，

D1 F B1 C1 A1 用向量法求证：EF//平面PAC

P 思路分析：解决本题可先建系，写出直线的方向向量，利用坐标处理

E 它们之间的位置关系，求证EF与平面PAC的法向量垂直。

D

解答（略）

C

A B

例3 用向量方法证明线面垂直的判定定理：一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直.

思路分析：参考教材第104页“平面与平面平行的判定定理”的证明方法解决。注意空间向量共面定理的应用。

证明（略）

（本例题可依据学生课堂掌握情况适度添加，也可作为课后作业留出）

三、总结提升

※

学习小结

1. 空间点，直线和平面的向量表示方法

2. 平面的法向量求法和性质.

※

知识拓展：

求平面的法向量步骤：

⑴设平面的法向量为n(x,y,z)；

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；

⑶根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组；

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 设平面的法向量为(1,2,2)，平面的法向量为(2,4,k)，若∥，则k

；若，则k

。

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2. 已知l∥，且直线l的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,,2)，则m

。

123. 已知n，下列说法错误的是（

）

A. 若a，则na

B.若a//，则na

C. 若m,，则n//m

D.若m,，则nm

4.下列说法正确的是（

）

A.平面的法向量是唯一确定的

B.一条直线的方向向量是唯一确定的

C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量

D.若m是直线l的方向向量，l//，则m//

5. 已知AB1,0,1,AC0,3,1，能做平面ABC的法向量的是（

）

A. 1,2,1

B.1,13,1

C.1,0,0

D. 2,1,3

课后作业

1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：DB1是平面ACD1的一个法向量。

2.

优化作业3.2(1)

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