1.4.1 全称量词板书设计

1.4 全称量词与存在量词

1.4.1 全称量词

1.4.2 存在量词

1.4.3 含有一个量词的命题的否定

1.理解全称量词与全称命题、存在量词与特称命题的定义. 2.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假.(重点) 3.能写出含有一个量词的命题的否定.(难点、易错点)

[基础·初探] 教材整理1 全称量词与存在量词

阅读教材P21思考～P22第1段，P22思考～P23例2以上部分，完成下列问题. 1.全称量词与全称命题

(1)全称量词

短语：“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词. (2)全称命题

含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

2.存在量词与特称命题

(1)存在量词

短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词. (2)特称命题

含有存在量词的命题，叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.

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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(

) (2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.(

) (3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.(

) 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

教材整理2 含有一个量词的命题的否定

阅读教材P24探究～P24例3以上部分，P25探究～P25例4以上部分，完成下列问题. 命题

全称命题p 全称命题的否定﹁p 特称命题p 特称命题的否定﹁p 命题的表述

∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，﹁p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，﹁p(x)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题﹁p的否定是p.(

) (2)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反.(

) (3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.(

) 【答案】

(1)√

(2)√

(3)√

[小组合作型]

全称命题与特称命题的区别

(1)下列命题中全称命题的个数是(

) ①任意一个自然数都是正整数；

②有的等差数列也是等比数列；

③三角形的内角和是180°. A.0 B.1 2/9

C.2 D.3 【解析】

观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词.命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有两个全称命题.

【答案】

C (2)下列命题中特称命题的个数是(

) ①至少有一个偶数是质数；

②∃x0∈R，log2x0>0；

③有的向量方向不确定. A.0 C.2 B.1 D.3 【解析】

①中含有存在量词“至少有一个”，所以是特称命题；

②中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题；

③中含有存在量词“有的”，所以是特称命题.

【答案】

D (3)用全称量词或存在量词表示下列语句：

①不等式x2＋x＋1>0恒成立；

11②当x为有理数时，3x2＋2x＋1也是有理数；

③等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；

④方程3x－2y＝10有整数解. 【解】

①对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立.

11②对任意有理数x，3x2＋2x＋1是有理数.

③存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.

④存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.

1.判断一个命题是特称命题，还是全称命题，要根据命题中所含量词来判断. 2.有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称命题.

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[再练一题] 1.(1)下列语句是特称命题的是(

)

【导学号：97792009】

A.整数n是2和7的倍数

B.存在整数n，使n能被11整除

C.x＞7 D.∀x∈M，p(x)成立

【解析】

B选项中有存在量词“存在”，故是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题.

【答案】

B (2)用全称量词或存在量词表示下列语句：

①有理数都能写成分数形式；

②方程x2＋2x＋8＝0有实数解；

③有一个实数乘以任意一个实数都等于0. 【解】

①任意一个有理数都能写成分数形式.

②存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立.

③存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.

(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

(2)存在一个x0∈R，使1＝0；

x0－1全称命题与特称命题的真假判断

指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；

(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}. 【精彩点拨】

先确定命题类型，然后推理证明或举反例来判断真假.

【自主解答】

(1)是全称命题.因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.

(2)是特称命题.因为不存在x0∈R，使1＝0成立，所以该命题是假命题.

x0－1(3)是特称命题.当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题.

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(4)是特称命题.存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题.

1.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 2.要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.

[再练一题] 2.试判断下面命题的真假. (1)∀x∈R，x2＋2>0；

(2)∀x∈N，x4≥1；

3(3)∃x0∈Z，x0<1；

2(4)∃x0∈Q，x0＝3. 【解】

(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.

3(3)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x0<1，所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题.

(4)由于使x2而它们都不是有理数.因此，任何一个有0＝3成立的数只有±3，理数的平方都不等于3，所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题. [探究共研型]

全称命题与特称命题的否定

探究1

全称命题和特称命题的否定各有什么特点？

【提示】

全称命题的否定是特称命题；

特称命题的否定是全称命题. 探究2

不等式有解和不等式恒成立有何区别？

【提示】

不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命5/9

题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题.

写出下列命题的否定，并判断真假. (1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)非负数的平方是正数；

(3)有的四边形没有外接圆；

(4)∃x0，y0∈Z，使得

2x0＋y0＝3. 【精彩点拨】

本题主要考查全称命题与特称命题的否定.可先将命题写成较明显、易理解的形式，再对一些关键词语进行否定.

【自主解答】

(1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”.由平行四边形的定义知，这是假命题.

(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题.

(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.

(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有2x＋y≠3”.

∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，

∴原命题为真，命题的否定为假命题.

对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题

1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题.

2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.

3.否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.

4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.

[再练一题] 3.(1)命题“存在x0∈R，使得ex0≤0”的否定是(

)

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【导学号：97792010】

A.不存在x0∈R，使得e＞0 B.对任意x∈R，ex＞0 C.对任意x∈R，ex≤0 D.存在x0∈R，使得e＞0 (2)命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________. 【解析】

(1)命题“存在x0∈R，使得e≤0”的否定是对任意x∈R，ex＞0.

(2)已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，即命题的否定是：

存在x0∈R，若y＞0，则x20＋y≤0.

【答案】

(1)B 2(2)存在x0∈R，若y＞0，则x0＋y≤0 x0x0x0

若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围. 【精彩点拨】

全称命题为真，意味着对限定集合[－1，＋∞)中的每一个元素x，x2－2ax＋2≥a都成立，因此属于恒成立问题，即转化为x∈[－1，＋∞)时，(x2－2ax＋2)min≥a.

【自主解答】

∵命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”为真命题，

∴x≥－1时，x2－2ax＋2≥a恒成立.

令f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，

则当a≥－1时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.

a≥－1，∴解得－1≤a≤1.

22－a≥a，当a＜－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.

a＜－1，∴解得－3≤a＜－1，

3＋2a≥a，综上可得－3≤a≤1.

即a的取值范围为[－3,1].

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求解含有量词的命题中参数范围的策略

1.对于全称命题“∀x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(或a＜f(x)min).

2.对于特称命题“∃x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max).

[再练一题] 4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5，若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 【解】

不等式m－f(x0)>0，可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.

又因为f(x)＝(x－1)2＋4，

∴f(x)min＝4，∴m>4.

所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞).

1.下列说法中，正确的个数是(

) ①存在一个实数x0，使－2x20＋x0－4＝0；

②所有的素数都是奇数；

③在同一平面中，斜率相等且不重合的两条直线都平行；

④至少存在一个正整数，能被5和7整除. A.1 C.3 B.2 D.4 【解析】

①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③④正确.故选B.

【答案】

B 2.下列命题中，正确的全称命题是(

) 8/9

A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B.菱形的两条对角线相等

C.∃x0∈R，x20＝x0

D.对数函数在定义域上是单调函数

【解析】

A项中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以不正确；B项在叙述上没有全称量词，实际上是“所有的”，因为菱形的对角线不一定相等，所以错误；C项是特称命题；D项正确.

【答案】

D 3.设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则﹁p为(

) A.∀n∈N，n2＞2n

C.∀n∈N，n2≤2n

B.∃n∈N，n2≤2n

D.∃n∈N，n2＝2n

【解析】

因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，﹁p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”.故选C.

【答案】

C 4.若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________. 【解析】

由题意知当x>3，有x>a恒成立，故a≤3.

【答案】

(－∞，3] 5.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定. (1)有一个奇数不能被3整除；

(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

(3)有些三角形的三个内角都为60°；

(4)每个三角形至少有两个锐角；

(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 【解】

(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除.

2(2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x0与3的和等于0.

(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.

(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角.

(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线. 9/9