3.3.4 两条平行直线间的距离优质课教案设计

课题：

3.3.4 两条平行直线间的距离

教学目标：

知识与技能：

1.了解平行线距离公式的推导方法；

2.掌握平行线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；

3.初步掌握用解析法研究几何问题．

过程与方法：

掌握平行线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题；

情感、态度与价值：

让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神. 教学重点、难点

能灵活应用求关于平行线间的距离等问题；

教学模式与教法、学法

本课采用：任务驱动，问题导航、合作探究

教学过程：

一、问题导学：

知识点一

两条平行直线间的距离

思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答案

点A、B、C到直线l2的距离分别为2、2、2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．

1．定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．

2．图示：

3．求法：转化为点到直线的距离．

4．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝|C1－C2|. A2＋B2二、题型探究：

类型一

两平行线间的距离

例1

(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________．

(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．

答案

(1)10

(2)2x－y＋1＝0 46m解析

(1)由题意得＝，

31∴m＝2，

将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间距离公式得：

|－1＋6|62＋22＝510＝. 440(2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0，

由题意知：得c＝1，

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 反思与感悟

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y|b1－b2|＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋Byk＋1＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

A2＋B2|3－c||c＋1|＝，

22＋1222＋12类型二

利用距离公式求最值

例2

(1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则x2＋y2－2y＋1的最小值为________．

答案

7

10解析

∵x2＋y2－2y＋1＝x－02＋y－12，

∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，

即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，

∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝|8－1|62＋82＝7. 10

(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. ①求d的取值范围；②求当d取最大值时，两条直线的方程．

解

①设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，

l1⊥AB，显然当时，l1和l2的距离最大，

l⊥AB2

且最大值为|AB|＝－3－62＋－1－22＝310，

∴d的取值范围为(0,310]；

②由①知dmax＝310，此时k＝－3，

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 反思与感悟

解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．

跟踪训练

(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；

(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．

解

(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，

此时OP垂直于已知直线，

则kOP＝1，

∴OP所在直线方程为y＝x，

y＝x，x＝2，由解得∴P点坐标为(2,2)．

x＋y－4＝0，y＝2.

(2)由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大，

∵kOP＝2，

1∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，

2即x＋2y－5＝0. 类型四

对称问题

例3

求点P(－5,13)关于直线l：2x－3y－3＝0的对称点P′的坐标．

解

设P′的坐标为(x0，y0)，

x0－5y0＋13则线段PP′中点Q的坐标为(，)．

22∵Q在直线l上，

x0－5y0＋13∴2·－3·－3＝0，

22即2x0－3y0－55＝0.①

又∵PP′⊥l，∴kl·kPP′＝－1，

2y0－13即·＝－1，

3x0＋5即3x0＋2y0－11＝0.②

x0＝11，联立①②解得

y＝－11，0

∴P′的坐标为(11，－11)．

反思与感悟

(1)点关于直线对称的点的求法

点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组y－yA·－＝－1AB≠0，x－xBx＋xy＋yA·2＋B·2＋C＝00000

求得．

(2)直线关于直线的对称的求法

求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．

三、达标检测：

1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(

) A．1

C.2

答案

D |a－1＋1|解析

由题意知22＝1，

1＋1即|a|＝2，∴a＝±2. 2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(

) 7742A.

B.

C.

D.

515153答案

C 解析

l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝|－6＋10|4＝. 92＋12215B．－1 D．±2 3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离为(

) A．52

C．510

答案

C B．25 D．105

解析

∵点A关于x轴的对称点A′(－3，－5)，

∴|A′B|＝－3－22＋－5－102＝510，

由光的反射理论可知，

此即为光线从A到B的距离．

4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________. 答案

10 |15－5|解析

由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，

5∴a＋d＝10. 5．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．

答案

(5，－3) 解析

由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，

设垂足为M，则|MP|为最小，

4直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，

33x－4y－27＝0，解方程组

4y－1＝－x－2，3x＝5，得

y＝－3

∴所求点的坐标为(5，－3)．

四、课堂小结：

1．利用平行线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．

3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝为点到直线的距离．

4．对称问题

最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平分两条件列方程组可求解对称点坐标．

|C1－C2|A2＋B2求解，也可在已知直线上取一点，转化五、课时作业：

习题3.4

第7、8、9题

六、教学反思：