习题2.1教学设计(第二课时)

课题:三角形顶点的轨迹方程

广东东莞实验中学

周万林

一.

教材分析：

轨迹问题是解析几何中的重点问题，从知识结构上看，它是椭圆、双曲线、抛物线等知识的延续和拓展。在求解轨迹问题中蕴涵化归、数形结合等诸多数学思想方法。复习课强调的是解题、做题，因此选题是关键，选题的指导思想是：数量较少、难度适中，有代表性，且围绕一个主题知识点。

二、教学目标: 知识目标——掌握求轨迹方程的基本方法（定义法）

能力目标——①培养学生观察、联想能力，渗透化归、数形结合等数学思想。

②培养学生利用现代信息技术手段进行探索、实验的能力。

情感目标——创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习热情，强化学生参与意识，激励学生勇于创新。

重点:问题变换

难点:如何启发学生提出问题

三．教学过程: 复习

求曲线方程的步骤：

建

1、建立适当的直角体系，并

设

设曲线上任意一点M的坐标为（x，y）；

现

2、写出动点M所满足的几何条件；

代

3、将坐标代入，列出方程f(x,y)0；

化

4、化方程f(x,y)0为最简形式；

5、证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

第5步可省略，如有特殊情况，可以适当说明。

下面结合我们学习的椭圆、双曲线、抛物线的有关定义来探讨轨迹方程的问题（板书课题）

讲授新课

例题：在ABC中,A,B,C的对边长分别为a,b,c，其中边长c为定值。以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy（如图）。请你添加适当条件，求出顶点C的轨迹方程。

著名科学家爱因斯坦说过：“提出问题比解决问题更重要”。下面请同学们联系所学圆锥曲线的相关知识，大胆联想，提出你认为可行的“添加条件”（坐在一起的同学可以相互讨论）

学生可能提出的条件：

（1）bam(mc)

（2）ABC的周长为定值l

（3）bam(0mc)

（4）ABC的面积为定值m（m>0）

(5)顶点C与两定点A,B连线我斜率之积为定值m.

(6)B2A

………

S1：添加条件（1）ba2c

解：CACBba2c(定值,且2ccAB)

故点C的轨迹是一个椭圆（除去与x轴的交点）

设所求椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为222c3a',b',c',则2a'2c,2c'c,a'c,c',故b'a'c'c2

24x2y2故C点的轨迹方程为221(y0)

c3c4S2：添加条件（2）：ABC的周长为定值l（l>2c）

x2y2此时，点C的轨迹方程为1(y0)

(lc)2l(l2c)44T：S2给出的条件（2）合理吗？

同学们发现问题，必须补上条件：l>2c cS3：添加条件（3）：ba

2cc略解：CACBba(cAB)

22∴点C的轨迹是双曲线的右支（去掉与x轴的交点），

x2y2其方程为221(y0,x0)

（注：有学生可能误认为是双曲线，注c3c1616意纠正）

T：追问：若添加条件abc，这时顶点C的轨迹方程又如何？

2x2y2众答：221(y0,x0)

c3c1616T：若添加条件ba1c，顶点C的轨迹方程又如何？

2

x2y2众答：221(y0)

c3c1616T：条件（1）和条件（3）的等价条件是什么？

启发学生答出：

条件（1）的等价条件是：sinBsinA2sinC

1条件（3）的等价条件是：sinBsinAsinC

2这时顶点C的轨迹方程没有变化。

T：联系我们做过的作业P53第7题（P67第5题），我们可以给出条件（4）。

S4：添加条件（4）：如图,P点是以A为圆心,r(r>c,且r为定值)为半径的圆(除去与x轴的交点)上的任意一点,PB的垂直平分线交直线PA于点C. 略解：CACBCACPr(rc)

故点C的轨迹为一个椭圆（去掉与x轴的交点），其方程为x2y21(y0)

r2r2c244T：如果将条件（4）中的r>c改为0

CACBCACPr

①

C'BC'AC'P'C'Ar

②

由①, ②可得CACBr

故点C的轨迹是一条双曲线(去掉与x轴的交点): x2y221(y0)

22rcr44T：逆向思维，提问：如果要使C点的轨迹是一条抛物线或圆，应添加怎样的条件？

S5：添加条件（5）：给出定点F（0，4），C点到F的距离与到直线AB的距离

相等。

略解：如图，设c（x，y），

点C到直线AB的距离为y，

CFyx2(y4)2y2

化简得x28(y2)

此时点C的轨迹是一条抛物线。

S6：添加条件（6）：顶点C和两定点A，B连线的斜率之积为-1 c2此时，C点轨迹方程为：xy(y0)

422T：将条件（6）中的数学改为字母，如kCAkCBm(m0)

这时点C的轨迹是什么曲线？

mc2c22(y0)

略解：m(x)，化简得：mxycc42xx22yy①

当m>0时,方程表示双曲线(去掉与x轴的交点) ②

当m<0且m1时,方程表示椭圆(去掉与x轴的交点) ③

当m=-1时, 方程表示圆(去掉与x轴的交点) 注:本例学生可能提出的附加条件还有: S7：ABC的面积为定值m（m>0）

S8：B2A

S9：顶点C到两定点A，B的距离之积为定值；

S10：顶点C到两定点A，B的距离之比为定值；（如CA:CB1:2)

S11：顶点C和两定点A，B连线的斜率之和为定值；

S12：顶点C和两定点A，B连线的斜率之差为定值；

………

课堂小结：

1．抓信椭圆、双曲线、抛物线的定义，是解决这类问题的关键；

2．数形结合、广泛联想是解决问题的桥梁；

3．开放性思维就是要多层次、多视角去思考问题、分析问题；

4．条件由数字上升为字母时，常需要用分类讨论的方法来解决问题。

布置作业：

1．整理、总结这节课所学的内容；

2．请同学们课后进一步联想课内外做过的习题，再添加适当条件，求出C点的轨迹方程。

四、教学评价

学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。

本节课利用学生熟悉的问题情境激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯。

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