1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二课时教学设计

1.4 含有一个量词的命题的否定

一、教学目标

（一）学习目标

1．掌握含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律；

2．掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

（二）学习重点

1．含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；

2．会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

（三）学习难点

正确地对含有一个量词的命题进行否定．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：________________；

（2）特称命题p：x0∈M，p(x0)，它的否定p：_______________；

（3）命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．

【答案】（1）

x0∈M，p(x0)

（2）x∈M，p(x)

（3）结论

条件

结论

预习自测

1．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则(

) A．p：∃x0∈R，sin x0≥1

B．p：∀x∈R，sin x≥1

C．p：∃x0∈R，sin x0>1 D．p：∀x∈R，sin x>1 答案：C 解析：【知识点】全称命题的否定．

【解题过程】全称命题xM,p(x)的否定为：x0M，p(x0)．

点拨：首先判断为全称命题还是特称命题．

222．“存在整数m0，n0，使得m0=n02011”的否定是(

) A．任意整数m，n，使得m2=n22011

22B．存在整数m0，n0，使得m0n02011

C．任意整数m，n，使得m2n22011

D．以上都不对

答案：C 解析：【知识点】特称命题的否定．

【解题过程】特称命题x0M,p(x0)的否定为：xM,p(x)．

点拨：首先判断为全称命题还是特称命题．

3.写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：______________________________________________________．

答案：存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根．

解析：【知识点】全称命题的否定．

【解题过程】存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根．

点拨：全称命题xM,p(x)的否定为：x0M，p(x0)．

4．已知p：∃x∈R，sin x＋cos x≤m为真命题，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0为真命题，求实数m的取值范围．

答案：－2≤m<2．

解析：【知识点】命题的真假．

【解题过程】因为p：∃x∈R，sin x＋cos x≤m为真命题，所以p：x∈R，sin x＋cos x>m为假命题,所以sin x＋cos x>m不恒成立．由sin x＋cos 2,2x=2sin(x)，所以m2．

4因为q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0为真命题，所以x2＋mx＋1>0恒成立，即=m240，解得2m2．

所以综上－2≤m<2．

点拨：全称命题、特称命题的真假．

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）全称量词和特称量词的含义；

（2）全称命题和特称命题真假的判断．

2．问题探究

探究一

含有一个量词的命题的否定形式

●活动①

回顾旧知，引入新课

回顾1：我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p的否定（即p），它们的真假性之间有何联系？

回顾2：常见关键词的否定

（1）等于：不等于（大于或小于）；（2）大于：不大于（小于或等于）；

（3）都是：不都是（部分否定）；（4）所有：某些（或部分）；

（5）至多n个：至少n1个；（6）任意一个：某一个；

（7）p或q：非p且非q；（8）p且q：非p或非q．

【设计意图】复习旧知识，为学习全称命题和特称命题的否定做准备．

●活动②

探究全称命题的否定

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定．（学生讨论，展示）

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个偶数都不是素数；

（3）xR,sinx[1,1]．

分析：三个命题都是全称命题，即具有形式“xM,p(x)”．

其中命题（1）的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；

命题(2)的否定是“某些偶数是素数”，也就是说，存在一个偶数是素数；

命题(3)的否定是“并非xR,sinx[1,1]”，也就是说，xR,sinx[1,1]；

问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？

总结规律：全称命题xM,p(x)的否定为：x0M，p(x0)，即全称命题的否定是特称命题．

【设计意图】结合实例让学生更易理解．

●活动③

探究特称命题的否定

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定．（讨论，展示）

（1）xR,x22x20；

（2）有的三角形是等边三角形；

（3）存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．

分析：三个命题都是特称命题，即具有形式“x0M,p(x0)”．

其中命题（1）的否定是“不存在xR,x22x20”，也就是说，xR,x22x20；

命题(2)的否定是“没有三角形是等边三角形”，也就是说，任意的三角形均不是等边三角形；

命题(3)的否定是“不存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”，也就是说任意一个四边形，它的对角线不垂直或不平分；

问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？

总结规律：特称命题x0M,p(x0)的否定为：xM,p(x)，特称命题的否定是全称命题．

【设计意图】结合实例让学生更易理解．

在这里再次强调命题的否定和否命题的区别，不要因为含有一个量词的命题的否定需要把,改变就误认为是否命题！

●活动④

运用反馈

例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：

（1）三角形内角和为180°；

（2）每个二次函数的图象都开口朝下；

（3）存在一个四边形不是平行四边形．

【知识点】全称命题和特称命题的否定．

【思路点拨】

掌握全称命题和特称命题否定的形式．

【答案】（1）是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不

等于180°；

（2）是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；

（3）是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．

同类训练

写出下列各命题的否定，并判断其真假．

（1）不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．

1x0（）1．

（2）存在一个实数x0，使2答案：(1)命题的否定：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0无实根．假命1题．(2)命题的否定：对任意实数x，(2)x≤1．假命题．

解析：【知识点】全称命题和特称命题的否定．

点拨：掌握全称命题和特称命题否定的形式．

例2 设命题p：函数ycos2x的最小正周期为；命题q：函数ysinx的图2像关于直线xA．p为真

B．q为真

C．pq为真

D．pq为真

答案：D 2对称．则下列判断正确的是（

）

解析：【知识点】命题的真假．

【解题过程】因为函数ycos2x的最小正周期T=2=，所以命题p为假命题；2命题q为真命题．所以q为假，pq为假，pq为真．

点拨：先判断命题p、q的真假．

同类训练

给出两个命题：

p：函数yx2x1有两个不同的零点；q：若11，则x1．在下列四个命x题中，真命题时（

）

A．（p）q

B．pq

（p）(q)

C．（p）(q)

D．答案：D 解析：【知识点】命题的真假．

【解题过程】命题p：=1450恒成立，即函数有两个不同的零点，p为真命题，p为假命题；

命题q：

11x10x(x1)0x0或x1，所以q为假命题，q为xx（p）(q)为真命题．

真命题；所以点拨：先判断命题p、q的真假．

例3给出两个命题：命题p：对任意实数x都有ax2ax1恒成立，命题q：关于x的方程x2x+a0有实数根．若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的范围．

【知识点】由命题的真假求参数范围，方程根的判断．

ax2ax1恒成立，【解题过程】命题p：则a0或a24a0，即0a4；命题q：14a0，即a1．

4因为pq为真命题，pq为假命题，所以p、q一真一假．（1）p真q假时，11a4；（2）p假q真时，a0；综上a(,0)(,4)．

44【思路点拨】

先判断命题p、q的真假,

pq为真命题，pq为假命题，则

p、q一真一假．

1【答案】a(,0)(,4)

4同类训练

命题p：方程x2+mx+10有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+10无实数根．若p或q为真命题时，求实数m的范围．

答案：m1

解析：【知识点】由命题的真假求参数范围，方程根的判断．

m240【解题过程】命题p：

x1x2m0，即m2；命题q：xx101216(m2)2160，即3m1．

因为p或q为真命题，所以p为真或q为真．综上m1．

点拨：先判断命题p、q的真假,

p或q为真命题，则p为真或q为真．

【设计意图】通过练习，熟悉知识．

课堂总结

知识梳理

1．含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；

2．含有一个量词的命题进行否定．

重难点归纳

含有一个量词的命题进行否定时除了将结论否定，还要将任意改为存在，存在改为任意．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是(

) 2A．不存在x0∈R，x30－x0＋1≤0

2B．存在x0∈R，x30－x0＋1≥0

2C．存在x0∈R，x30－x0＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0 答案：C 解析：【知识点】全称命题的否定．

2【解题过程】

由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x30－x0＋1>0”．故选C．

点拨：掌握全称命题的否定形式．

2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“p”形式的命题是(

) A．∃m0∈R，使得方程x2＋m0x＋1＝0无实根

B．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根

C．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根

D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根

答案：B 解析：【知识点】特称命题的否定．

【解题过程】由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”．故选B．

点拨：掌握特称命题的否定形式．

3．“∃x0∉M，p(x0)”的否定是(

) A．∀x∈M，p(x) B．∀x∉M，p(x) C．∀x∉M，p(x) D．∀x∈M，p(x) 答案：C 解析：【知识点】特称命题的否定．

【解题过程】由特称命题的否定可知，命题的否定为“∀x∉M，p(x)”．故选C．

点拨：掌握特称命题的否定形式．

4．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

) A．②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

【知识点】命题真假的判断．

π【解题过程】当x＝4时，tan x＝1，∴命题p为真命题．

由x2－3x＋2<0得1

∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．

【思路点拨】

首先判断命题p、q的真假．

【答案】D

5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(

) A．¬p∨q

B．p∧q

C．¬p∧¬q

D．¬p∨¬q

答案：D

解析：【知识点】命题真假的判断．

【解题过程】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有¬p∨¬q为真命题．

点拨：首先判断命题p、q的真假．

56．已知命题p：∃x∈R，cos x＝4；命题q：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是(

) A．命题p∨q是假命题

B．命题p∧q是真命题

C．命题(¬p)∧(¬q)是真命题

D．命题(¬p)∨(¬q)是真命题

答案：D 解析：【知识点】命题真假的判断．

【解题过程】易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．

点拨：首先判断命题p、q的真假．

能力型

师生共研

7．下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝3 C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0 答案：C 解析：【知识点】命题真假的判断．

π【解题过程】当x＝1时，lg x＝0，故命题“∃x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝3时，tan x＝3，故命题“∃x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R,2x＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．

点拨：熟悉全称命题和特称命题的形式．

π8．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为2；命题q：函数y＝cos x的图象关π于直线x＝2对称．则下列判断正确的是(

) A．p为真

B．¬q为假

C．p∧q为假

D．p∨q为真

答案：C 解析：【知识点】命题真假的判断．

【解题过程】易判断p为假命题，q为假命题，从而只有选项C正确．

点拨：首先判断命题p、q的真假．

探究型

多维突破

9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．

答案：（1）m＞－4；（2）m>4．

解析：【知识点】全称命题、特称命题．

【解题过程】

(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4．

要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4．

(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．

2∵f(x0)＝x0－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4．

∴m>4．

点拨：恒成立问题和存在性问题转化为函数求最值得问题．

10．已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是__________．

答案：(－∞，1] 解析：【知识点】根据命题求参数的范围．

【解题过程】若¬p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解．

由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1．

点拨：分离参数求最值．

自助餐

1．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题¬p：____________________，它是________命题(填“真”或“假”)．

【知识点】全称命题、特称命题的形式及命题真假的判断．

【数学思想】

【解题过程】∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p是假命题．

【思路点拨】特称命题x0M,p(x0)的否定为：xM,p(x)．

【答案】特称命题；假；∀x∈R，x2＋2x＋5≥0；真．

2．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．

(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

答案：(1)∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3；(2)∀x∈R，x2＋2x＋5≠0

解析：【知识点】全称命题、特称命题的否定．

点拨：全称命题xM,p(x)的否定为：x0M，p(x0)；特称命题x0M,p(x0)的否定为：xM,p(x)．

3．写出下列命题的否定并判断其真假．

(1)所有正方形都是矩形；

(2)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；

(3)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；

(4)正数的对数都是正数．

答案：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．

(2)命题的否定：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．

(3)命题的否定：∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．

(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．

解析：【知识点】命题的否定，命题真假的判断．

点拨：全称命题、特称命题的否定．

4．写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．

(1)∀a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；

(2)若a·c＝b·c，则a＝b；

(3)若b2＝ac，则a，b，c是等比数列．

答案：(1)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab，假；

命题的否定：∃a，b∈R，若a＝b，则a2≠ab，假；

(2)否命题：若a·c≠b·c，则a≠b.真；

命题的否定：∃a，b，c，若a·c＝b·c，则a≠b，真；

(3)否命题：若b2≠ac，则a，b，c不是等比数列，真．

命题的否定：∃a，b，c∈R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．

解析：【知识点】命题的否定和否命题．

点拨：否命题是直接否定命题的条件和结论．

5．已知命题p：∃φ∈R，使f(x)＝sin(x＋φ)为偶函数；命题q：∀x∈R，cos 2x＋4sin x－3＜0，则下列命题中为真命题的是(

) A．p∧q

B．(¬p)∨q

C．p∨(¬q)

D．(¬p)∧(¬q) C．p∧q为假

D．p∨q为真

答案：C 解析：【知识点】命题真假的判断．

π【解题过程】利用排除法求解．∃φ＝2，使f(x)＝sin(x＋φ)＝sin(x)＝cos x是2

π偶函数，所以p是真命题，¬p是假命题；∃x＝2，使cos 2x＋4sin x－3＝－1＋4－3＝0，所以q是假命题，¬q是真命题．所以p∧q，(¬p)∨q，(¬p)∧(¬q)都是假命题，排除A，B，D，p∨(¬q)是真命题，故选C．

点拨：首先判断命题p、q的真假．

16．已知c＞0，设命题p：函数y＝c为减函数．命题q：当x∈2，2时，函数x11f(x)＝x＋x＞c恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围是__________. 1答案：(0,]∪[1，＋∞)

2解析：【知识点】根据命题求参数的范围．

15【解题过程】由命题p为真知，0＜c＜1；由命题q为真知，2≤x＋x≤2．

11要使此式恒成立，需c＜2，即c＞2．

若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q中必有一真一假，

1当p真q假时，c的取值范围是0＜c≤2；

当p假q真时，c的取值范围是c≥1．

1综上可知，c的取值范围是(0,]∪[1，＋∞)．

2点拨：“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q中必有一真一假，再进行分类讨论．