3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教学设计

3.1.1直线的倾斜角和斜率(1)

(一）教学目标: 知识与技能

1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

2.理解直线的倾斜角的唯一性. 3.理解直线的斜率的存在性. 4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. （二）教学方法：启发、引导、讨论. （三）教学过程：

探究一：直线的倾斜角

问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线

l ，它的位置由哪些条件确定？

问题2：我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线

l 经过点P，直线

l 的位置能够确定吗？

问题3：过一点P可以作无数条直线l 1，

l 2

，

l 3

，…它们都经过点P

（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？

问题4：容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？

1.直线的倾斜角的概念

当直线

l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线

l 向上方向之间所成的角α

叫做直线

l 的倾斜角

．特别地,当直线l 与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

练习：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

yyyyoxox（A）（B）o（C）xo（D）x

思考:1.按倾斜角去分类，直线可分几类？

2.直线的倾斜角的取值范围是多少？

2.直线的倾斜角的取值范围为： 0°≤α＜180°.

当直线l 与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 问1：过同一点的两条直线是一样的吗？过一点能不能确定一条直线？

问2：直线a∥b, 那么它们的倾斜角α相等吗? 是同一条直线吗？倾斜角能不能确定一条直线？

3.确定直线的要素：

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α，二者缺一不可。

练习：判断正误：

1.所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。对

2.每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。错

探究二：

问题5.日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

升高量坡度（比）前进量

如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．

2.直线的斜率: 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

思考: 是否每条直线都有斜率?

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－

45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 例题1：已知直线的倾斜角，求直线的斜率. 1)30 2)135

3)60

4)90

变式：已知直线的斜率，求其倾斜角. (1)k0

(2)k1

(3)k3

(4)k不存在

探究三：由两点确定的直线的斜率

问题：给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

（1)倾斜角是锐角时 (2)倾斜角是钝角时 1、当 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的位置对调时，k 值又如何呢？ 2、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

3、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

3.直线的斜率公式:

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),（x1≠x2）的直线的斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

四：典型例题:

例2 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 变式：（1）A(3，2)，B(-4，2) ,C(3,-1)，求直线AB,BC,CA的斜率（2）若D(1，m)与点A,B共线，求m

例3 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作

45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 5．练习: P86 1. 2. 3. 4. 五：课堂小结: 1.这节课你收获了什么内容？

2.你学到了什么数学思想？

六：课后作业: P89 习题3.1 1. 2. 3.4