小结主要内容及教案内容

第一章

空间几何体复习

一：教学目标

1、熟悉简单空间几何体及简单组合体的结构特征，

2、能画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型。

3、了解简单空间几何体的表面积和体积的计算公式。

二：教学重难点

教学重点：熟悉简单几何体及简单组合体的结构特征，并会画出它们的三视图。

教学难点：区别各种几何体结构特征的异同，并能与实际生活中相联系。

三：基础知识

（一）空间几何体的结构

结

构

特

征

（1）两底面相互平行，其余各面都是四边形；

（2）并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.

结

构

特

征

（1）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体,圆柱.

（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体. 圆锥

图例

棱柱

圆柱

棱锥

（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；（2）各侧面有一个公共顶点.

圆锥

棱台

（1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，圆底面和截面之间的部分.

台

棱台

（1）两底面相互平行；

（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.

圆台

球

（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半

圆面旋转一周形成的几何体.

球O.

1

知识拓展

1.特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；

侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；

底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；

底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；

侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；

底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；

棱长都相等的长方体叫做正方体，其中长方体对角线的平方等于同一顶点上三条棱的平方和. 2.特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥，正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的斜高；

侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体. 3.特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，正棱台各侧面等腰梯形的高称为正棱台的斜高. 4.球心与球的截面圆心的连线垂直于截面. 5.规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.

（二）空间几何体的三视图和直观图

1、中心投影与平行投影

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形. 平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.

2、空间几何体的三视图

正视图：是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图。

侧视图：是光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图。

2

俯视图：是光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

3、空间几何体的直观图

直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：

（1）

建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系x'o'y'，两轴夹角为45. （2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段. （3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

（三）空间几何体的表面积和体积

四：典型例题

考点一：简单几何体结构的理解与应用

1、下面几何体的轴截面一定是圆的是

( C

) A．圆柱

B．圆锥

C．球

D．圆台

2、以等腰直角梯形的直角腰所在的直线为轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是__圆台___。

3、若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高。

333323，

解：底面正三角形中，边长为3，高为3sin60，中心到顶点距离为223则棱锥的高为22(3)21。

4、连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.

活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图

(1)，再作出判断.

3

(1)

(2) 解：如图(1)，正方体ABCD—A1B1C1D1，O1、O2、O3、O4、O5、O6分别是各表面的中心.由点O1、O2、O3、O4、O5、O6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱.该多面体的图形如图（2）所示. 点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱.由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如O1O2O6O4等也是正方形.为了增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的O1O5、O6O5、O5O2、O5O4应画成虚线.

考点二：简单几何体的三视图及其应用

1、两条相交直线的平行投影是（

）

A.两条相交直线

B.一条直线

C.两条平行直线

D.两条相交直线或一条直线

分析：借助于长方体模型来判断，如图18所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射.则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD。 答案：D

2、某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（

）

A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱台

D.三棱台

分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥. 答案：B 3、.画出如图所示的正四棱锥的三视图.

分析：正四棱锥的正视图与侧视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四棱锥的四条侧棱. 答案：正四棱锥的三视图如图

4

考点三：会计算简单几何体的表面积与体积

1、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为４５平面图形的面积是（

A

）

A. 22

B. 122ｏ

，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原

C. 22

D. 12

2

2、半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（

A

）

A. 3R3

24

B. 3R3

8

C. 5R3

24

D. 5R3

8

3、正方体的内切球和外接球的半径之比为（

D

）

A. 3:1

B. 3:2

C. 2:3

D. 3:3

4、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是

（

B

）

A、25

B、50

C、125

D、都不对

5、已知两个几何体的三视图如下，试求它们的表面积和体积。单位：CM

（1）图（1）中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱。直角梯形的上底为１，下底为２，高为图（1）

１；棱柱的高为１。可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，2。

所以此几何体的体积图（2

5

SVS梯形h表面２S底S侧面113(12)11(CM3)　　＝(12)12（1＋1＋2＋2）1

222　　＝7＋2(CM2)(2)由图可知此正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，可求得底面边长为4。

S所以V表面２S底S侧面S１1h423283(CM3)　　＝2423342

2２　　　8324(CM2)

能力提升

想一想：正方体的截面可能是什么形状的图形？

活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面.用运动的观点看几何问题的形成，容易建立空间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的. 明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系，对于我们正确的割补图形也是有好处的. 对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割所得的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状.

探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案：

（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形. （2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形. （3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形至少有一组对边平行. （4）截面不能是直角梯形. （5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能是正五边形. （6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等. （7）截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形，即正六边形. 截面图形如图12中各图所示：

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