2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案设计（一等奖）

空间中直线与平面之间的位置关系

教学分析

空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 教学目标

1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 4.探究直线与平面平行的判定定理. 5.直线与平面平行的判定定理的应用. 6.探究直线与平面平行的性质定理. 7.体会直线与平面平行的性质定理的应用. 重点难点：正确判定直线与平面的位置关系；直线与平面平行的性质定理；直线与平面平行的性质定理的应用. 教学过程

一、复习引入： 复习：空间两直线的位置关系

二、新课讲解：

【探究1】一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 【探究2】观察长方体，你能发现长方体ABCDA'B'C'D'中，线段A'B所在的直线与长方体ABCDA'B'C'D'的六个面所在平面有几种位置关系？

直线在平面内

直线与平面有无数个公共点

a

直线与平面相交

直线与平面有且只有一个公共点

aA

直线与平面平行

直线与平面没有公共点

a//

【理解】⑴如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行，即：直线和平面没有公共点叫做直线和平面平行。应该要注意，这里所说的直线是向两边无限延伸的，平面是向四周无限扩展的；

⑵我们把直线与平面相交或直线与平面平行的情况统称为直线在平面外，今后凡是谈到直线在平面外，都有两种情形：直线与平面相交，直线与平面平行。

⑶据定义，在求直线和平面所成的角时，应按下述三种情况依次进行考虑：

①直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0角；

②直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；

③直线和平面斜交时，直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角．

【探究3】线面平行的判定定理是什么？

【线面平行的判定定理】如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。【符号语言】l,m,l//ml//，可以简记为：“线线平行，则线面平

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行”

【证明】假设直线l不平行与平面,l,lP，①若Pm，则线线平行线面平行

l//．和l//m矛盾；②若Pm，则l和m成异面直线，也和l//m矛盾，

【探究4】大家仔细分析一下，判定定理告诉我们，直线与平面平行应具备几个条件？

【答案】三个，分别是平面外的一条直线，平面内的一条直线，两直线平行。这三个条件缺一不可。

【探究5】线面平行的性质定理的内容是什么？

【线面平行的性质定理】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。【符号语言】l//,l,ml//m

【证明】l//,l和没有公共点，又m,l和m没有公共点；即l和m都在内，且没有公共点，l//m。

线面平行线线平行

三、讲解范例：

【例1】判断下列命题的真假

⑴过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （真）

⑵过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （假）

⑶若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （假）

⑷若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （真）

⑸经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. （真）

【例2】以下命题（其中a,b表示直线，表示平面）

①若a//b,b，则a//；

②若a//,b//，则a//b；③若a//b,b//,则a//；④若a//，b，则a//b，其中不正确命题的个数是4个

【例3】已知a//,b//，则直线a,b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交。其中可能成立的有①②③④⑤

【例4】A,B是直线l外的两点，过A,B且和l平行的平面的个数是 个。0,1,无数。

EF//平面BCD．E,F分别是AB,AD的中点，【例5】已知空间四边形ABCD中，求证：

【证明】连结BD，在ABD中，E,F分别是AB,AD的中点，EF//BD，EF平面BCD,BD平面BCD,EF//平面BCD。

【例6】求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内。

已知：l//,P,Pm,m//l，求证：m．

l//m，又∵l//m，m,m【证明】设l与P确定平面为，且m,l//,都经过点P，∴m,m重合，(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)∴m．

【例7】求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行. a//b．已知：直线a//平面，直线a//平面，平面平面b，求证：

【分析】

利用公理4，寻求一条直线分别与a,b均平行，从而达到a//b的目的．可借用已知条件中的直线a//平面，直线a//平面来实现．

【证明】经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，∵a//平面，直线a//平面,a//c,a//d,c//d。又∵d平面,c平面,c//平面，又c平面，平面平面b,c//b,又∵a//c，所以，a∥b．

【点评】本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过

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程.这是证明线线平行的一种典型的思路. 【例8】已知M,N分别是ADB和ADC的重心，A点不在平面内，B,C,D在平面内，求证：MN//。

【证明】如图,连接AM,AN并延长分别交BD,CD于P,Q，连接PQ.

M,N分别是ADB和ADC的重心，AMAN2,MN//PQ，又MPNQPQ,MN,MN//。

【点评】利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化. 【例9】平面与ABC的两边AB,AC分别交于D,E，且AD:DBAE:EC，求证：BC//平面。

BBC//DEC【证明】AD:DBAE:ECBCBC//

DDEE

A

【例10】经过正方体ABCDA1D1D于EE1，求证：1BC11D1的棱BB1作一平面交平面AAEE1//BB1

AA1//BB1AA1//平面BEE1B1【证明】AA1平面BEE1B1AA1//平面BEE1B1AA1平面ADD1A1

BB1平面BEE1B1平面ADD1A1平面BEE1B1EE1AA1//BB1BB1//EE1

AA1//EE1【例11】已知四棱锥PABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA//平面MBD.

AA1//EE1,

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