3.1直线的倾斜角与斜率（通用）第二课时教案

3.1.1倾斜角与斜率

教学

课题

课程

类型

课时

《3.1.1倾斜角与斜率》

新授课

一课时

直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任。本节课涉及了两个概念――倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直都要用到这个概念；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一，教材

也为后续微积分的学习奠定了基础。我个人认为，新教材把本节课作为解析几何的入门课是因为解析几分析

何的本质是几何问题代数化，而最简单的几何图形就是直线，新教材正是想通过让学生首先经历把直线的几何特征代数化这一过程，初步体会用代数法研究几何问题的思想。因此在本课的教学中不但要落实显性知识――倾斜角与斜率，更要落实一种思想――几何问题代数化。

高一学生经历了函数的学习，初步形成了数形结合的能力，另外通过初中的学习，已经具备了学情

还没有形成自觉地把数学问题抽象化的能力。所以在教学设计时如何找到学生的最近发展区进行探究学分析

习，尽量让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，就成为教学的一个重要问题。

直角坐标系的相关知识，这些都为本节课知识的生长点奠定了基础。但根据高一普通班学生的认知规律，

教学

直线的倾斜角和斜率概念的理解，初步掌握过两点的直线斜率公式。

重点

教学

直线的倾斜角概念的形成，斜率公式的建构。

难点

（一）知识与技能

教学

（二）方法与过程

目标

理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式，初步感悟用代数方法解决几何问题的思想方法，提高抽象概括能力。

通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，培养学生观察、分析和概括的能力。

体会几何问题代数化的思想，通过合作探索，互相交流，享受获取数学知识的喜悦。

（三）情感态度与价值观

教学

启发引导，动态演示，讲练结合

方法

学法

情景观察、活动探究，小组讨论

渗透

教学

多媒体辅助教学

手段

教学过程设计

教学

教师活动

步骤

向学生提出，在平面直角坐标系中点可以用坐标表示，那直线如何表示呢？生活中一些优美的曲线呢？17（一）

世纪法国数学家笛卡尔和费指明方向

马对这个问题进行了深入的

思考，创立了解析几何，探课题引入

索怎样以坐标系为桥梁，把

几何问题代数化。今天我们首先研究最简单的几何对象——直线，学习直线的倾斜角与斜率，从而引入课题。

4、用什么量来刻画直线的倾

（二）

活动探究得出概念

（探究活动一：倾轴正向与直线

l 向上方向斜角概念的得出）

设计

学生活动

意图

给学生指明研究方向，使学生对解析几何产生浓厚的兴趣，体会到数学无处不在。

教师提问：

1、对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置由哪些因素确定呢？

2、过一点能不能确定一条直线呢？

3、这些直线的区别在哪里？

思考1：判断下列倾斜角是否正确？并确定倾斜角的范围是什么？

斜程度呢？

（多媒体动画演示）

得到倾斜角概念：

当直线

l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x之间所成的角α

叫做直线

l 的倾斜角．

通过观察，使学生感受数学是自然的，并不是强加于我们的。

教师提问：能否用一个数值来刻画直线的倾斜程度？

多媒体演示

得出直线的斜率的概念：

一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即

ktan。

总结：直线倾斜角的范围是:0180

思考2：l1∥l2∥l3，则其倾斜角之间的关系是什么？

总结：已知直线的倾斜角，不能确定一条直线。确定平面

直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一定点和它的倾斜角。

通过思考，使学生感受到平面直角坐标系中的每一条直线都有确定的倾斜角，并且直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线。

让学生感受数学概念来源于生活，培养学生观察、归纳、联想的能力。

通过几何（探究活动二：斜率概念的得出）

思考3：倾斜角为30°，45°，60°，120°，135°，150°的直线的斜率为多少？

思考4：

倾斜角在[0°,180°)内变化时，斜率k如何变化？

几何画板演示

画板，让学生体会倾斜角与斜率的关系。

提出问题：在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，能否用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

（三）

过程体验

发现公式

总结得出：经过两点

p1(x1,y2),p2(x2,y2)的直线的斜率公式：

随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1

P2，探究倾斜角为锐角和钝角的情况并尝试推导

学生在小组交流、互相讨论的基础上，体会到斜率公式的本质。

1、想一想：当p1p2的位置对调时，k值又如何呢？

2、想一想：

①、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

②、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

yy1k2(x1x2)

x2x1公式的特点: (1)与两点的顺序无关

(2)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°

(3)利用直线上任意两点的坐标可直接求直线斜率，而不需要求出直线的倾斜角

例1.已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，突破本堂BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

课的难（四）

操作建构巩固新知

解：直线AB的斜率kAB

121；

437点，使学生在解题

中进一步理解倾斜角、斜率、直线BC的斜率kBC直线CA的斜率kCA1121;0(4)421231. 033

由kAB0及kCA0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；

点坐标三由kBC0知，直线BC的倾斜角为钝角。

变式训练：已知直线l经过三点p1（3,5），p2（x,7）,p3(-1,y),若直线l的斜率为k2，求x,y 的值。

者的关系。

使学生灵活运用斜率公式，更好的体会到把倾斜角代数化的优越性。

加强数形结合，让学生理解直线确定7-5x32解：由斜率公式得 y5213x4

所以

y3

例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1,l2,l3

及l4

。 解：

设A1(x1,y1)是直线l1上的一点，根据斜率公式有1y10，即x1y1。设x11,则y11，

x10于是A1的坐标是（1，1）。过原点及A1(1,1)的直线即为l1，

的本质是同理，由1由几何条y20，得y2x2.设x21，则y21.x20件两点确定或几何条件一点与倾斜角确定。

于是得直线l2上的一点A2的坐标为(1,-1). 过原点及A2(1,-1)的直线即为l2. 同理可知，l3是过原点及A3(1,2)的直线，l4是过原点及A4(1,-3)的直线.

(五) 归纳小结

布置作业

1、

课堂小结

2、自我测评

（1） 判断正误： 有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力

能使学生及时①因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率。 地发现自②因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行

己存在的于y轴的直线的倾斜角不存在。 问题，也③直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大。 能及时的（2）(填空题)已知A(x，-2)，B(3，0)，且kAB

（3）(填空题)已知三点A(-2，3)，B(3，-4m)，C( 1，m)，2

在同一条直线上，则实数m＝

3、布置作业

基础题 P.86 第1，2，3题 1，则x = ______-给教师以2信息反馈

让不同层次的学生都得到全

提升题 面的发P.90 探究与发现：魔法师的展。

地毯

板书设计

投影屏幕

§3.1.1 倾斜角与斜率

1、定义：倾斜角 画图讲解

斜率

2、斜率与倾斜角之间的关系 3、斜率公式

教学评价

本节课的教学重视发挥学生的主体作用与教师的主导作用，重视“过程”教学，让学生更多的是积极主动，合作交流，体会更深的是分享的快乐和成功的喜悦，课后提升题让学生用所学知识解决实际问题，更好的提高了他们解决问题的能力，真正还原了数学的本质:知识与能力并重，课内与课外并行