1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案3

空间几何体的表面积和体积预习提纲

1．平面展开图

2．概念：

直棱柱：

正棱柱：

正棱锥：

正棱台：

3．面积公式：

S直棱柱侧＝

S正棱锥侧＝

S正棱台侧＝

S圆柱侧＝

＝

S圆锥侧＝

＝

S圆台侧＝

＝

S球面＝

相互间的关系：

4．体积公式：

V长方体＝

＝

V柱体＝

V锥体＝

V台体＝

V球＝

相互间的关系：

空间几何体的表面积和体积教案

例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.

例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.

[来源:学科网ZXXK][来源:学,科,网Z,X,X,K]

例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？

例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.

科网]

例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；

2（2）球的表面积等于圆柱全面积的

3

例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.

[来源:学#科#网]

例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.

[来源:Zxxk.Com]Com]

练习：

1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积. 2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.

例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？

来源学|科|网Z|X|X|K]

空间几何体的表面积和体积教案

例1：已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16 cm，全面积为1440 cm2，求底面各边之长.

分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲

求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a、10a、

9a，故只须求出参数a即可，那么如何利用已知条件去求

a呢？

［生］设底面三边长分别是17a、10a、9a, S侧＝（17a＋10a＋9a）·16＝576a

设17a所对三角形内角α，

（10a）2＋（9a）2－（17a）234则cosα＝

＝－

，sinα＝

2×10a×9a5514S底＝

·10a·9a·

＝36a2

25∴576a＋72a2＝1440

解得：a＝2 ∴三边长分别为34 cm，20 cm，18 cm. ［师］此题中先设出参数a，再消去参数，很有特色. 例2：正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积. 分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得. 解：如图所示，设正三棱锥S—ABC的高为SO，斜高为SD，

在Rt△SAO中，∴AO＝SA·cos45°

2236∵AO＝

AD＝

a

∴SA＝a

3323在Rt△SBD中

SD＝(62115a)(a)2a326[来源学&科&网Z&X&X&K]

11523∴S侧＝

·3a·SD＝a.

∵S底＝a2

244∴S全＝（153＋）a2

44例3：从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？

分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的

体积和正三棱锥A—BCD的体积即可. 解：设正方体体积为Sh,则每个截去的三棱锥的体积

111为

·

Sh＝

Sh. 326∵三棱锥A—BCD的体积为

11Sh－4·

Sh＝

Sh. 631∴正三棱锥A—BCD的体积是正方体体积的3

.

例4：假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积. 解：如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，AB＝a，PB＝2a，

作PO⊥底面ABCD于O.连结BD，则O∈BD，且PO⊥BC，

由AB＝a，得BD＝2 a，在Rt△PAB中，

PO2＝PB2－BO2＝（2a）2－（∴PO＝22a）

21417a，S对角面＝

PO·BD＝a2. 222又作PE⊥BC于E，这时E是BC的中点

1∴PE2＝PB2－BE2＝（2a）2－（

a）2

2∴PE＝151a

∴S侧＝4×PE·BC＝15 a2

2272a,侧面积为

15 a2.

2∴对角面面积为例5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；

2（2）球的表面积等于圆柱全面积的

3证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，

高为2R，得

S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2

∴S球＝S圆柱侧

（2）∵S圆柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2

S球＝4πR2

2∴S球＝

S圆柱全

3例6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比. a2解：设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为

，第二个球的半径是a，第三个22球的半径为3a.

2∴r1∶r2∶r3＝1∶2 ∶3 ∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3 例7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比. 解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面SAB和球的大圆⊙O，且⊙O为

△SAB的内切圆. 设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为R，则

S锥全＝πr2＋πrl，S球＝4πR2，∴r2＋rl＝8R2 ①

又∵△SOE∽△SAO1

∴Rlrlr 22rlrlr

②

由②得：R2＝r2·l＝3r

lrlr代入①得：r2＋rl＝8r2·，得：

lrlr

∴S锥侧rll23

S底rr∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1. 练习：

1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的体积.

2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积. 例8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 解：如图所示，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1. 设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有

[来源:Z_xx_k.Com]OB＝O1O·cot30°＝3 R

SO＝OB·tan60°＝3 R·3 ＝3R

4∴V球＝

πR3,V柱＝πR2·2R＝2πR3

31V锥＝

π（3 R）2·3R＝3πR3

3∴V球∶V柱∶V锥＝

4∶6∶9 ［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系. 让我们继续体会有关球的相接切问题. 例9：半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？

解：如图所示，大球O的半径为R；设正四面体

A—BCD的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意

233BO1＝

a＝a，

323AO1＝AB2－BO12

＝又∵BO2＝BO12＋OO12，

∴R2＝（a2－（326a）

＝a

33326a)(aR)2

∴a＝3326R

3连结OA，OB，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为r, VO—BCD＝VO—ABC＋VO—ACD＋VO—AOB＋VO—BCD

11∴SBCDAO14SBCDr

33AO1∴r＝

466261aRR

∴r＝121233

∴V小球∶V大球＝414π·（R）3∶π·R3＝1∶27 333∴内切球与外接球的体积比为1∶27.