1.2.3 空间几何体的直观图教学实录及点评

1.2.3 空间几何体的直观图

●三维目标

1.知识与技能

(1)会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图. (2)会画简单空间几何组合体的直观图. 2.过程与方法

学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图. 3.情感、态度与价值观

(1)提高空间想象力与直观感受. (2)体会对比在学习中的作用. (3)感受几何作图在生产活动中的应用. ●重点难点

重点:水平放置的平面图形直观图画法. 难点:用斜二测画法画空间几何体的直观图. 重难点突破:以学生熟知的水平放置的平面图形的直观图为切入点,先让学生观察直观图与平面图的区别与联系,发现共同点,总结规律,教师适时点拨,引导学生切实理解“斜”和“二测”的含义,并通过典例训练加深对直观图画法的理解,重点得以突破.在此基础上,通过正方体直观图的画法,总结用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤,在此过程中让学生体会平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别,从而难点得以化解. ●教学建议

画出空间几何体的直观图是学好立体几何的前提和基础,是解决学生识图难及画图难的关键,故本节课在整个立体几何教学中有着不可替代的作用.鉴于本节知识的特点,教学时可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结,教师在此过程中适时引导和点拨.如在平面图形直观图的画法中,给学生指出确定坐标系的关键性;引导学生发现平面图形的直观图的画法其实质是确定点位置的画法;在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中,要引导学生进行对比学习;最后通过例题及练习辅助教学,澄清学生学习本节知识的疑难点,提升学生的认知能力. ●教学流程

创设问题情境,引出问题:如何画平面图形的直观图?⇒

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课标解读

1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(重点) 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.(难点) 3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换.(易错点) 斜二测画法

【问题导思】

正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图如图所示,在此图形中各个面都画成正方形了吗? 【提示】没有都画成正方形. 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

2.立体图形直观图的画法规则

画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′,且平行于O′z′的线段长度不变,其他同平面图形的画法.

水平放置的平面图形的直观图的画法

画出如图1-2-19所示水平放置的等腰梯形的直观图. 图1-2-19 【思路探究】依据斜二测画法,―→

【自主解答】画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.

(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.

(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行. 2.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成. 把本例“图1-2-19”换成“图1-2-20”,试画出该图的直观图. 图1-2-20 【解】(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图(1). (2)画相应的x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°,在x′轴上取O′B′=AB,在y′轴上取O′D′=AD,过D′作x′轴的平行线l,在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC.如图(2). (3)连接B′C′,所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形ABCD的直观图.如图(3). 空间几何体的直观图的画法

画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图. 【思路探究】―→―→―→

【自主解答】画法:(1)画轴. 画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图(1). (2)画底面. 以O为中心在xOy平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD. (3)画顶点:在Oz轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高. (4)成图:顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,得四棱锥的直观图如图(2). 1.画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可. 2.直观图画法口诀可以总结为:“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变.”

画正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.(底面边长尺寸不作要求,侧棱长为2 cm) 【解】画法:(1)画轴.画x′轴、y′轴、z′轴,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°.

(2)画底面.根据x′轴,y′轴,画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱.过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线,在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm. (4)成图.顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正六棱柱的直观图. 由直观图还原平面图形

如图1-2-21,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形. 图1-2-21

【思路探究】解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作,先确定点,再连线画出原图. 【自主解答】画法:(1)如图②,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O′A′,即CA=C′A′;

(2)在图①中,过B′作B′D′∥y′轴,交x′轴于D′,在图②中,在x轴上取OD=O′D′,过D作DB∥y轴,并使DB=2D′B′.

(3)连接AB,BC,则△ABC即为△A′B′C′原来的图形,如图②. 解答本题过程中容易把OB或AB画成O′B′或A′B′的2倍而造成错误.由直观图恢复到平面图形时应注意角度的改变、平行性不变、长度的变化,关键是点的确定. (2013·临沂高一检测)直观图(如图1-2-22)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2. 图1-2-22 【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,∴OABC的面积S=2×4=8(cm2). 【答案】矩形

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