3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则板书设计及意图

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

课题

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

教学

目标

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

教学重、

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

难点

教学

多媒体课件

准备

一、导入新课：

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

五种常见函数yc、yx、yx2、y用

教学过程

1、yx的导数公式及应x函数

导数

yc[来源:Z+xx+k.Com]y'0

y'1

yx

yx2

y1

xy'2x

y'1

x2yx

yf(x)xn(nQ*)

y12x

y'nxn1[来源:学+科+网Z+X+X+K]

练习1

求下列函数的导数

(1)

y= 5

(2)yx

(3)yx

(4)y2

42x(5)ylog3x

二、讲授新课：

（一）基本初等函数的导数公式表

函数

导数

yc

y'0

y'nxn1

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

yf(x)ax

yf(x)ex

[来源:Z.xx.k.Com]y'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna1

xf(x)logax

f(x)lnx

（二）导数的运算法则

f'(x)导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3．2g(x)g(x)

'（2）推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三．典例分析

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t)1.05tln1.05

所以p'(10)1.0510ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx32x3

（2）y11；

1x1x（3）yxsinxlnx；

x；

x41lnx（5）y．

1lnx（4）y（6）y(2x25x1)ex；

（7）ysinxxcosx

cosxxsinx解：（1）y'(x32x3)'(x3)'(2x)'(3)'3x22，

y'3x22。

1'1'(1x)'(1x)')()（2）y(

221x1x(1x)(1x)'12x2x

(1x)2(1x)2112x(1x)[121(1x)2]

(1x)2(1x)2

2(1x)2x1(1x)x

2x(1x)(1x)x

2x(1x)y'（3）y'(xsinxlnx)'[(xlnx)sinx]'

(xlnx)'sinx(xlnx)(sinx)'

1(1lnxx)sinx(xlnx)cosx

xsinxlnxsinxxlnxcosx

y'sinxlnxsinxxlnxcosx

x'x'4xx(4x)'14xx4xln41xln4（4）y(x)，

x2x2x4(4)(4)4'y'1xln4。

4x11lnx'212x（5）y'(

)(1)'2()'2221lnx1lnx1lnx(1lnx)x(1lnx)y'2

2x(1lnx)（6）y'(2x25x1)'ex(2x25x1)(ex)'

(4x5)ex(2x25x1)ex(2x2x4)ex，

y'(2x2x4)ex。

（7）y('sinxxcosx')

cosxxsinx(sinxxcosx)'(cosxxsinx)(sinxxcosx)(cosxxsinx)'

2(cosxxsinx)(cosxcosxxsinx)(cosxxsinx)(sinxxcosx)(sinxsinxxcosx)

2(cosxxsinx)

xsinx(cosxxsinx)(sinxxcosx)xcosx

2(cosxxsinx)x2。

2(cosxxsinx)x2

y(cosxxsinx)2'

【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．

②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

例3、已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．

y0

解：∵直线l过原点，∴直线l的斜率k＝(x0≠0)．

x02由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x30－3x0＋2x0，

y02∴x＝x0－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，

0∴k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2.

y0y02又k＝x，∴3x0－6x0＋2＝x＝x20－3x0＋2，

002整理得2x0－3x0＝0. 331∵x0≠0，∴x0＝2，此时y0＝－8，k＝－4. 313，－因此直线l的方程为y＝－4x，切点坐标为2.

8四．课堂练习

1．课本P92练习

2．已知曲线C：y

＝3 x

4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（y

＝－12 x

＋8）

课堂小结：

（1）基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

布置作业：

P85. 4,5,6

当堂检测

1．函数y3x的导数为（

）

21311A．3x

B．x

C．x

D．x3

33322．已知fxx,若f(1)4，则a的值为（

）

aA．4

B．4

C．4

D．不确定

3．下列结论中

①若ycosx，则ysinx；②若f(x)1,则y1x2xx；

③若yf(x)12,则f(3)2；正确的个数为（

）

27xA ．

0

B．

1

C．

2

D．

3

4.已知曲线f(x)1，（1）求曲线过点A(1,0)的切线方程；（2）求满足斜率为1x3的曲线的切线方程。

21.

五种常见函数yc、yx、yx、y1、yx的导数公式

x2.

基本初等函数的导数公式

板书设计

3.

导数的运算法则

'4.

推论：cf(x)cf(x)

'5.

典例分析

6.

课堂练习

1.

求导数是在定义域内实行的．

教学反2.

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

思

3.

求切线问题的关键是理解导数的几何意义，先求函数在点(x0，y0)

处的导数，即为切线的斜率．当函数f(x)在x＝x0处不可导时，曲线在该点处并不一定没有切线，同时还必须明确点(x0，y0)为切点，当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标再求解．