一、圆锥曲线的光学性质及其应用教案教学设计导入整理

圆锥曲线的光学性质及其应用

苍南中学

周素琴

一.

教材分析

本节课内容是人教版高中数学教材选修2-1中第二章《圆锥曲线与方程》2.4节阅读与思考中的内容，教学需要一个课时。本节课是在学生学习完了圆锥曲线的概念及性质之后，接着说明圆锥曲线与科研，生产以及日常生活有着密切的关系，比如电影放映机的灯泡，手电筒设计，激光治疗肾结石等它们的工作原理都和圆锥曲线的光学性质有关。它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例。

由于三种曲线的性质可以进行适当的类比，在教学中可突出其中一种曲线进行深入研究。本课重点探讨椭圆的光学性质及其应用，通过类比了解其他曲线的光学性质及其作用。

二.

学情分析

从知识基础的角度看，学生在初中已经通过物理实验平面镜成像学习了光的反射原理，高中又在前部分对圆锥曲线的概念和性质进行了学习，对于圆锥曲线的光学性质的理解有一定的基础。但作为重点中学的学生，他们并不满意仅仅了解圆锥曲线光学性质，还需要了解为什么具有这样的性质，因此对其证明也充满了求知欲。同时，教材的内容出现在了阅读与理解，故而重视对学生的阅读能力的培养，结合几何画板利用垂直平分线构造圆锥曲线的方法为圆锥曲线的光学性质的证明提供了直观简洁的依据。另外教材从抛物线的光学性质开始编排，因为抛物线的光学性质要简单一些，但是学生首先学习的是椭圆，对椭圆更熟悉一些，因此教学设计改变了教材编排顺序，从椭圆光学性质学习开始设计。

三.

教学目标

（一）

知识与技能目标：

了解圆锥曲线的光学性质及缘由，知道这些光学性质的一些应用。

（二）

过程与方法目标：

1.通过对光学实验的研究，总结得出椭圆的光学性质；

2.通过对阅读材料的思考，理解为什么椭圆具有这样的光学性质；

3.通过对椭圆的光学性质应用的理解，以及生活中抛物线和双曲线的光学性

质的应用思考出抛物线与双曲线的光学性质。

4.以三个“通过”渗透特殊到一般、一般到特殊的思想方法，提升分析问题、解决问题的能力以及培养学生探索、发现数学信息的习惯。

（三）

情感、态度和价值观目标：

1.培养学生阅读探究能力。

2. 通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学化的过程。

3. 通过师生、生生合作学习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识。

四.

教学重难点

教学重点：了解三种圆锥曲线的光学性质及缘由；了解圆锥曲线光学性质在生活中的应用；

教学难点：证明椭圆的光学性质

难点突破策略分析：

证明椭圆的光学性质是本节课的一个难点，引导学生通过阅读利用几何画板画出椭圆的方法，结合反射规律找到椭圆的光学性质的证明方法，使学生明白光学性质的本质即光的反射，从而达到突破难点的目的。

五．教学方法：讨论发现、实验猜想、问题探究

六．教学准备：多媒体，软面镜，激光笔，几何画板软件

七．教学过程：

（一）故事引入

多年以前，意大利西西里岛的统治者把一群囚犯关进这个山洞，囚犯们多次密谋逃跑，但是每次计划都被杰尼西亚发现，起初囚犯认为是有内奸，但是始终没有发现告密者.后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯的话都传了狱卒的耳朵里，于是囚犯们诅咒这个山洞叫做“刁尼秀斯之耳”. 思考：山洞真的被施了魔法吗？请大家结合图形的形状，你能猜想真实的原因吗？

小组讨论猜想：这个山洞的轮廓近似于一个椭圆，囚犯和看守各处在椭圆的一个焦点上，囚犯说的话通过洞壁反射恰好到达看守的位置. 【设计意图】从数学史的角度提出问题，不仅能够激发学生的学习兴趣，引发学生提出猜想，为椭圆的光学性质学习提供一个良好的开端。同时通过生生合作学

习，增强学生团队协作能力，增强主动与他人合作交流的意识。

（二）实验验证

1.

物理实验

我们知道声波和光波符合同样的反射定律，如果我们的猜想是正确的，那么光波也应该符合猜想，即从椭圆的一个焦点发出的光，通过曲线反射后，会会聚到另一个焦点。 师：

我们能用实验来证明我们的猜想吗？请大家利用所提供的实验器材（激光笔、画有椭圆的卡片，软面镜）看能否证实我们的猜想。

【设计意图】对椭圆的光学性质进行实验验证，得到椭圆的光学性质的真实性，体会猜想、

验证过程。

请学生代表上台演示实验，并改变光线入射角度看是否同样符合。

2.几何画板验证

通过几何画板演示，引导学生寻找问题对应的入射角，如果反射路径经过另一个焦点，则必有焦半径与法线所成角相等（即反射角等于入射角），通过几何画板角的度量，验证猜想。

（三）理论证明

如图，F1、F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，过点P作椭圆的切线AB.证明：∠APF1=∠BPF2

证法1：由切线AB的斜率，利用角公式证明tanAPF1tanBPF2

x2y2xxyy若P(x0,y0）为椭圆221上的一点，则点P处的切线方程为20201，ababb2x0b2x0y0点P处的切线斜率为k2，即kAB2.又因为kPF1，

x0cay0ay0故tanAPF1kPF1kAB1kPF1kAB22a2y0b2x0b2cx0

222ax0y0acy0bx0y0

由于a2y0b2x0a2b2，a2x0y0b2x0y0c2x0y0，

故tanAPF1kPF1kAB1kPF1kAB22a2y0b2x0b2cx0a2b2b2cx0b2

22222ax0y0acy0bx0y0acy0cx0y0cy0b2BPFanAPFanBPF2，同理可证，tanBPF2，故t又因为APF1，2

1tcy0(0,)，因而APF1BPF2.（当斜率不存在时，命题依然成立，证明略.）

2证法2：借助向量法去证明这两个角的余弦值相等. b2x0设切线AB的方向向量为m(1,2)，|m|m，F1P(x0c,y0)，ay0F2P(x0c,y0)则

b2x0c2c2c2|x0c2||2x0c|d212|mF1M|caaaacosAPF

1FMmF1MmF1MmF1MmF1Mm1ald1其中d1是M到左准线的距离，同理可证cosBPF2c，所以al(0,)，因而APFAPFBPFcosAPFcosBPF，又因为，12121BPF2. 2证法3：几何证明. 几何画板用中垂线方法做出椭圆，利用椭圆的形成过程，从而得到证明。

（1）

先画出一个半径为r的圆F1，

（2）

在圆内找一点F2(非圆心) ，

（3）

圆上选取一点P；

（4）

构造PF2的中垂线l

（5）

链接PF2交l于点M,M的轨迹就是以F1，F2为焦点，半径为长轴长的椭圆（原理：|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=r）直线l便是椭圆的切线。

学生中可能出现的思路与证法：

证法1：联立椭圆与直线方程（点斜式），用0处理相切问题. 证法2：设∠F1PF2的角平分线为PM,通过证明kPMk切线=-1，从而证明反射光线经过另一个焦点

（四）类比归纳

从上面的讨论中，我们得到了椭圆的光学性质，类比一下，双曲线及抛物线中有类似的性质吗？

性质1 从椭圆的一个焦点发出的光学，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点. 性质2 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点. 性质3 从抛物线的焦点发出的光学，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.

（五）延伸应用

请学生回答收集的图片用了哪些圆锥曲线的光学性质。

汽车远光灯太阳灶太阳灶

探照灯、汽车远光灯：在抛物面反射器焦点上的一个小灯光，射到抛物面的光线所产生的亮度是没有抛物面反射器的光线亮度的6000倍左右. 教师介绍抛物线的光学性质在实际生活中的应用：抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.同时鼓励学生提出自己的观点。

太阳灶：光和热一样经抛物面反射汇聚于一点，这一点处的温度就会很高，可以利用.

医学上：激光消痣与体外碎石技术. 医学上用来对付肾结石，让人的肾结石位于椭圆的一个焦点的位置，在另一个焦点处释放的高能冲击波经椭圆面反射后集中在石头上，将其击碎，实现碎石。

转角镜、汽车后视镜：远处的物体在虚焦点前形成正立、缩小的虚像，可以反射大范围的缩小景观，主要用来扩大视野，口径相同的凸面镜视野比平面镜大.

【设计意图】让学生感受到要抓住事物的本质特征研究问题，要学以致用，要勤于思考。

x2y2思考题（2013年山东高考理22）椭圆C：221（ab0）的左、右焦ab采集奥运圣火雷达天线

点分别是F1，F2，离心率为长为1.

2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段2x2（1）求椭圆C的方程； （答案：y21）

4（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于M(m,0)，求m的取值范围；

（3）略

解析：

【高考参考解答】由题意可知：PF1PMPF1PF2PMPF2PF1PMPF1PMPF2PMPF2PM化简得：

，

2设P(x0,y0)，其中x04

，

22将向量坐标代入并化简得

m(4x016)3x012x0，

3x0，

433而x0(2,2)，所以m(,)

222因为x04，所以mb2x0【椭圆光学背景下的解法】设P(x0,y0)，则点P处的切线斜率为k2，由ay0椭圆的光学性质可知，F1PF2的角平分线PM垂直于点P处的切线l，即kkPM1kPMa2y02. bx0b2a2y0则直线PM的方程为yy02(xx0)，令y0，则xmx0(12)

abx033由于x0(2,2)，故m(,). 22我们可以看到，在上述突破问题本质的解答中，快速直达的思维量与简单超低的计算量，几乎把该问题直接进行了“秒杀”！ 【设计意图】通过圆锥曲线教学中的典型例题，如求定点，定值，轨迹方程，求参数等，阐明圆锥曲线的光学性质在数学学习中的应用，加深学生学习兴趣。与本题对应的高考参考答案对比，我们可以发现，利用圆锥曲线光学性质的优势能

大大简化圆锥曲线解题中的一些计算量，达到新课程标准中提出的：“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的要求。

（五）小结作业

课后作业：证明双曲线、抛物线的光学性质.

总结语：圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。