1.1.3 四种命题间的相互关系教学评价实录

数学选修1-1 第一章 常用逻辑用语

1.1.3四种命题间的相互关系（第二课时）教学设计

一、教学目标：

1.了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其他三种命题；

2．能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假；

3.能利用原命题与逆否命题的真假性相同进行简单的证明。

二、教学重难点：

重点：正确分析四种命题的相互关系，写出命题的逆命题、否命题、逆否命题。

难点：判断四种命题的真假性，利用命题与逆否命题的真假性相同进行简单的证明。

三、学情分析：

作为普通中学的学生，数学学习的基础比较薄弱，高中数学的知识实在难度稍大，刚学习了高中数学必修1—必修5的内容，现进入选修1-1的学习，第一章是常用逻辑用语，一、二节的内容稍为轻松，但也覆盖全面所学的一些知识。作为老师，要尽可能地多提供让学生获得成功的体验，提高学生的学习积极性和学习主动性。通过创设问题情境，分组讨论和竞赛激发学生自主探求的热情和积极参与的意识，通过合作交流，培养学生团结协作的品质，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神，充分体现学生为主体的教学理念。

四、教学内容分析：

命题、四种命题及其相互关系是逻辑学的基本知识，数学学科包含了大量的命题，了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，对掌握逻辑关系很有帮助。逻辑是研究思维规律的学科，逻辑用语在数学中具有重要的作用，学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。日常生活中，为了使我们的语言表达和信息的传递更加准确、清楚，常常要一些逻辑用语、基本逻辑知识，常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具。另一方面，常用逻辑用语是数学语言的组成部分，是数学描述、判断、推理的工具，学习数学离不开逻辑用语。

五、教学环节及活动：

（一）复习导入：

1、四种命题的理解

逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________和________，那么这样的两个命题叫作________，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的________ 原命题为“若p，则q”；逆命题为“___________”

否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________和____________，这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的________

1

原命题为“若p，则q”；否命题为“____________”

逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________和___________，这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的________ 原命题为“若p，则q”；逆否命题为“___________”

2、四种命题的相互关系

原命题与逆命题互逆，原命题与否命题互否，原命题与逆否命题互为逆否，逆命题与否命题互为逆否，否命题与逆否命题互逆，逆命题与逆否命题互否。

3、四种命题的真假性

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

4、课前训练：

（1）．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是(

) A．若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数

B．若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数

C．若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数

D．若a，b不都是偶数，则a＋b是偶数

【答案】C （2）．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是(

) A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

【答案】A （3）．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是(

) A．若m∈M，则n∉M B．若n∉M，则m∈M C．若m∉M，则n∈M D．若n∈M，则m∉M 【答案】D （4）．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中(

) A．真命题的个数一定是奇数

B．真命题的个数一定是偶数

C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数

D．上述判断都不正确

【答案】B

（二）讲练结合（学生共同参与）

写出一个命题的逆命题、否命题与逆否命题时，关键是分清原命题的条件与结论，然后按定义来写．判断命题真假时，充分发挥原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，可大大简化判断过程.

例1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)若a≤1，则方程x2－2x＋a＝0有实根；

2

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧；

(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0.

(4)若x2＋y2＝0，则x，y全为零

解：

(1)逆命题：若方程x2－2x＋a＝0有实根，则a≤1.真命题．

否命题：若a>1，则方程x2－2x＋a＝0无实根．真命题．

逆否命题：若方程x2－2x＋a＝0无实根，则a>1.真命题．

(2)逆命题：若一条直线经过圆心且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．

逆否命题：若一条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0.真命题．

否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0.真命题．

逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0.假命题．

（注意“或”的否定是“且”）

（4）逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．

否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．

逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，是真命题．

（4）学生的易错点：

逆命题为：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题．否命题为：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．逆否命题为：若x，y全不为零，则x2＋y2≠0，是真命题．

错因分析：错因是对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．

师生共同分析：在对命题的条件和结论进行否定时，不能一概在关键词前加“不”，应结合命题研究的对象进行分析．一些常见的词语与它的否定词对照如下：

等于（不等于），大于（不大于），小于（不小于），是（不是），都是（不都是），能（不能），至多n个（至少n＋1个），至少n个（至多n－1个）

原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题来达到证明原命题的目的．来看下面的题目。

例2.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，求证：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

证明：(方法一)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

a＋b<0，即a<－b，b<－a.

3

∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

证明：(方法二)假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. ∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b) ≥

f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

分析总结：原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题来达到证明原命题的目的．此证法与反证法不同，反证法是通过否定结论的反面而达到目的，而逆否命题证法是证明原命题的等价命题成立．

（三）课堂训练（牛刀小试，分组竞赛）

1．有下列4个命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中的真命题是________．(把所有真命题的序号填在横线上) 【答案】①③④

分析：①的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②的否命题为“两个不相似的三角形的周长不相等”，是假命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”为真命题，其逆否命题为真命题；④根据集合的运算性质，可得“若A∪B＝B，则A⊆B”是真命题，它的逆否命题也是真命题．故真命题为①③④. 2．已知x，y∈R，命题“若xy＜18，则x＜2或y＜9”是______(填“真”或“假”)命题．

【答案】真

分析：命题的逆否命题为“若x≥2且y≥9，则xy≥18”．“若x≥2且y≥9，则xy≥18”成立，即命题的逆否命题为真命题，则“若xy＜18，则x＜2或y＜9”

4

是真命题．

3．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题．

分析：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d；

否命题：已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d；

逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．

4.证明;若a-b+2a-4b-3≠0,则a-b≠1 证明：若a-b=1,则a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3

=a-b-1

=0 所以原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题。

（四）归纳总结

1、四种命题

2、四种命题的相互关系

3、四种命题的真假性

4、原命题与逆否命题真假性相同的运用

（五）布置作业

1、复习四种命题及其相互关系

2、完成课本习题1.1 A组2、3、4 3、预习新课

六、教学资源

1、《普通高中课程标准实验教科书—数学选修1-1》

人民教育出版社

2、《普通高中课程标准实验教科书—数学选修1-1教师教学用书》

人民教育出版社

3、《高中新课标同步用书全优课堂—数学选修1-1教师用书》

新世纪出版社

七、教学评价

本课时在学生初步掌握命题、四种命题及其相互关系的基础上进行教学，重点是让学生更好地掌握四种命题的写法及真假性的判断，利用原命题及逆否命题的真假性相同进行简单的证明。针对学生的易错点设置例题，例题的讲解是讲练结合，学生同步参与，提高学生的课堂主动性。课前训练及课堂训练采取各小组竞赛方法进行，提高学生的学习积极性和合作能力。

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