1.2.1 充分条件与必要条件优质课教案设计

充要条件

教学目标：

（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；

（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；

（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；

（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

教学重点难点：关于充要条件的判断

教学用具：幻灯机或实物投影仪

教学过程设计

1．复习引入

练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：

（1）若x1，则x21；

（2）若x2y2，则xy；

（3）全等三角形的面积相等；

（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（5）若ab0，则a0；

（6）若方程ax2bxc0(a0)有两个不等的实数解，则b24ac0．

（学生口答，教师板书．）

（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．

置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如

何判断其真假的？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．

对于命题“若p，则q”，如果由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件，记作pq．

2．讲授新课

（板书充分条件的定义．）

一般地，如果已知pq，那么我们就说p是q成立的充分条件．

提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．

（学生口答）

（1）“x1，”是“x21”成立的充分条件；

（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；

（3）“方程ax2bxc0(a0)的有两个不等的实数解”是“b24ac0”成立的充分条件．

从另一个角度看，如果pq成立，那么其逆否命题pq也成立，即如果没有q，也就没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，也就是必要条件．

（板书必要条件的定义．）

提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．

（学生口答）．

（1）因为x1x21，所以x1是x21的充分条件，x21是x1的必要条件；

（2）因为x2y2xy，所以x2y2是xy的必要条件，xy是x2y2的充分条件；

（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；

（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；

（5）因为ab0a0，所以ab0是a0的必要条件，a0是ab0的充分条件；

（6）因为“方程ax2bxc0(a0)的有两个不等的实根”“b24ac0”，而且“方程ax2bxc0(a0)的有两个不等的实根”“b24ac0”，所以“方程ax2bxc0(a0)的有两个不等的实根”是“b24ac0”充分条件，而且是必要条件．

总结：如果p是q的充分条件，p又是q的必要条件，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作pq．

（板书充要条件的定义．）

3．巩固新课

例1

（用投影仪投影．）

A

A是B的什么B 条件

B是A的什么条件

y是有理数

y是实数

x5

x3

mn是偶m、n是奇数

数

ab

xA且xB

ab

xAB

ab0

a0

(x1)(y2)0

x1，y2

m是6的倍

m是4的倍数

数

（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）

①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

②x5一定能推出x3，而x3不一定推出x5，所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

③m、n是奇数，那么mn一定是偶数；mn是偶数，m、n不一定都是奇数（可能都为偶数），所以A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件；

④ab表示ab或ab，所以ab是ab成立的必要非充分条件；

⑤由交集的定义可知xA且xB是xAB成立的充要条件；

⑥由ab0知a0且b0，所以ab0是a0成立的充分非必要条件；

⑦由(x1)(y2)0知x1或y2，所以(x1)(y2)0是x1，y2成立的必要非充分条件；

⑧易知“m是4的倍数”是“m是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件；

（通过对上述问题的交流、思辩，在争论中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的认识．）

例2 已知a是的充要条件，S是r的必要条件同时又是的充分条件，试a与r的关系．（投影）

解：由已知得

aSr，

所以r是a的充分条件，或a是r的必要条件．

4．小结回授

今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了判断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础．

课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上））第

35页练习l、2；第36页练习l、2．

（通过练习，检查学生掌握情况，有针对性的进行讲评．）