直线与圆的三种位置关系第一课时导学案

2.5直线与圆的位置关系（1）

【教材分析】

本节课是苏科版九年级上册”2.5直线与圆的位置关系”第一课时。本节课是在学习了点与圆的位置关系的基础上进行学习的，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面的学习做好铺垫。本节课渗透了类比、分类讨论、数形结合的数学思想，并使得学生的几何直观、发现和解决问题能力得到发展。

【学情分析】

学生有一定的自学能カ，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在初一、初二学习

基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力。学习新知识速度快，模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，为了加强他们的自学能力，提高课堂效率，根据他们的特点，本节课以学生自主探究方式完成学习，选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和自信心。

【教学目标】

知识与技能：使学生认知并理解直线与圆的三种位置关系，并会利用公共点的个数，圆心到直线的距离d与半径r之间数量关系来判断直线与圆的位置关系，知道直线与圆的位置关系是从图形和数量两个方面来研究的。体会文字语言、图形和几何语言之间的联系。

过程与方法：经历探索直线与圆的位置关系的过程，学生通过探索、分析，能找出每种位置关系下圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系。从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。

情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验。理解类比、分类、数形结合的思想，学生几何直观、发现和解决问题能力得到发展。

【重点难点】

教学重点：理解直线与圆的三种位置关系，探究用数量关系刻画直线与圆的位置关系及

其运用。

教学难点：探究直线与圆的三种位置关系和相应的数量关系的内在联系。并利用d与r 的数量关系判断直线与圆的位置关系。

【教学方法】

情景教学法，问题探究法

【教学过程】

一、创设情景

播放“海上日出”的视频并加入我国著名作家巴金写的一段话“山水相间的地方出现一道红霞，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，慢慢儿，一纵一纵地使劲儿向上升，到了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了海面”的音频（班长录音）。请同学们欣赏这段视频，感受太阳升起的过程。

我们用数学的眼光来看这个自然现象，可以把太阳抽象成一个圆，把地平线抽象成一条直线。那么我们再次演示一下太阳升起的过程，感受一下直线和圆的位置变化（PPT演示）。

『设计意图』借助媒体演示生活中的“海上日出”情景，激发学生的学习兴趣和热情，让学生在美的境界中进入学习状态。为接下来将生活中的问题数学化，即把太阳看成圆，把地平线看成直线，引出课题：直线与圆的位置关系，做好准备。使学生体会到数学知识无处不在，应用数学无处不有。

二、预习自学

请同学们阅读课本P63-64页，并回答以下两个问题：

（1）直线与圆有哪几种位置关系？

（2）可以用什么方法来判定直线与圆的位置关系？

『设计意图』阅读能力是体现学生数学素养的一个重要指标。让学生带着问题自学，一方面可以让学生初步了解本节课所学内容，带着问题听课，使听课效率有所提高；另一方面可以提高学生的数学阅读能力。通过预习自学,可以使学生对本堂课所学知识有初步的了解和认识，为接下来新课的学习提供了事半功倍的效果。

三、探究活动

操作：请同学们拿出直尺，在画好的圆（课前准备好）上，上下移动直尺，如果把直尺的边缘看作一条直线，那么在直尺移动过程中，观察直线与圆的位置变化时，直线与圆的公共点个数如何变化？（演示）

分别是直线与圆没有公共点，直线与圆有且只有一个公共点，直线与圆有两个公共点。因此直线与圆有三种位置关系，分类的依据是直线与圆的公共点的个数。

『设计意图』通过学生动手操作，让学生亲自感受直线与圆的三种位置关系以及公共点个数的变化，可以使知识更加形象鲜明，为引出直线与圆相交、相切、相离的定义做准备。

同时对学生渗透分类讨论的数学思想。

四、导学点拨

1、直线与圆的位置关系：直线与圆相交、相切、相离

（1）直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线. （2）直线与圆有且只有一个公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. （3）直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.(板书)

师：现在我们已经知道直线与圆有三种位置关系以及所对应的公共点个数，那么你会判

断直线与圆的位置关系吗？说说你的方法。

生：当直线与圆没有公共点的时候，直线与圆的位置关系是相离

当直线与圆有且只有一个公共点的时候，直线与圆的位置关系是相切

当直线与圆有两个公共点的时候，直线与圆的位置关系是相交

★练一练：

1、若一条直线上的所有点都在圆的外部，那么这条直线与圆的位置关系为（A）

A相离

B相切

C相交

D不能确定

2、直线l和⊙O有公共点，则直线与⊙O的位置关系为（D）

A相离

B相切

C相交

D相切或相交

3、看图判断直线l与⊙O的位置关系

『设计意图』通过“练一练”，巩固直线与圆的位置关系判定方法，即利用公共点个数来判定直线与圆的位置关系。练习3（5）发现公共点个数无法判定直线与圆的位置关系，为引出利用数量关系判定直线与圆位置关系做准备。

★探究思考

如果公共点的个数不容易判断，该怎么办？我们试着像研究点与圆的位置关系一样

对直线与圆的位置关系进行数量分析，利用数量关系来判断直线与圆的位置关系。那么

你觉得和哪些数量有关呢？

师：回顾一下点与圆的位置关系是用哪些数量来判断的？

生：点与圆心的距离d与半径r的数量关系。当dr时点在圆外。

师：那么直线与圆的位置关系又跟哪些数量有关呢？（想想看直线在向上移的过程中，哪个量在发生变化？）

生：圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 师：你能否用具体的数量关系来刻画直线与圆的位置关系？（PPT）

圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 生：

直线与圆相交时

0≤d

d=r

直线与圆相离时

d>r 师：反之，如果知道了d与r的大小关系，你能判断出直线与圆的位置关系吗？

生：

0≤d＜r

直线与圆相交

d=r

直线与圆相切

d＞r

直线与圆相离

D D D

师：判断直线和圆的位置关系的方法有哪些？

生：（1）根据定义，由直线与圆的公共点个数来判断。（形）

（2）根据数量关系，由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断。（数）

师（总结）:判断直线与圆的位置关系，我们可以通过形即公共点的个数；也可以通过数即圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断。

思考：师：点与圆有三种不同的位置关系，直线与圆也有三种不同的位置关系，这两者之间有怎样的联系？（引导直线上特殊的点即圆心到直线的垂线段的垂足）

生：直线l与⊙O的位置关系，实际上就是圆心到直线的垂线段的垂足D与⊙O的3种位置关系。当点D在圆内时，直线与圆相交；当点D在圆上时，直线与圆相切；当点D在圆外时，直线与圆相离。

师：直线与圆的位置关系的判断可以转化为点与圆的位置关系的判断。因此点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系有着密不可分的联系。

★练一练

1、已知圆的半径为6cm，设直线和圆心的距离为d ：

（1）若d=4 cm ,则直线与圆_ 相交

_, 直线与圆有_ 2__个公共点.

（2）若d=6cm ,则直线与圆_ 相切

_ _, 直线与圆有_1_

个公共点. （3）若d=8cm ,则直线与圆

相离

, 直线与圆有_0_ 个公共点.

2、已知⊙O的半径为5, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条件填写d的范围: （1）若AB和⊙O相离, 则

d > 5cm

;

（2）若AB和⊙O相切, 则

d = 5cm

; （3）若AB和⊙O相交，则

0≤d < 5cm

.

3、已知⊙O的半径为5, 圆心O与直线AB的距离为d, （1）若直线l与⊙O没有公共点，则d的范围

d>5

（2）若直线l与⊙O有公共点，则d的范围

0≤d≤5

（3）若直线l与⊙O最多有一个公共点，则d的范围

d≥5

『设计意图』通过“练一练”，使学生巩固直线与圆的位置关系所对应的数量关系，以及用数量关系来判定直线与圆的位置关系。

★例题讲解

例1．在Rt△ABC中，∠C=90°AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？

（1）r=2cm（2）r=2.4cm (3)r=3cm．

分析：根据直线与圆的位置关系的数量特征，已经知道圆的半径可以考虑用圆心到直线的距离d与半径r的大小进行比较：关键是确定圆心C到直线AB的距离d，怎么求这个距离？

解：过C作CD⊥AB，垂足为D ∵在Rt△ABC中，CD⊥AB B∴AB=5，AC·BC=CD·AB ∴3×4=5CD ∴CD=2.4=d 3⑴∵d=2.4 r=2 D∴d＞r

∴直线AB与⊙C相离

⑵∵d=2.4 r=2.4 AC∴d=r

4∴直线AB与⊙C相切

⑶∵d=2.4 r=3 ∴d

∴直线AB与⊙C相交

『设计意图』巩固用数量关系来判定直线与圆的位置关系，尤其强调d即圆心C到直线AB的距离。

五、延伸探究

例1变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。

①当r满足

0

时，直线AB与⊙C相离. B②当r满足

r=2.4

时，直线AB与⊙C相切. ③当r满足

r>2.4

时，直线AB与⊙C相交. 教师变式：

3④当r满足

r=2.4或3﹤r≤4 时, 线段AB与⊙C只有一个公共点.

D学生变式：

⑤当r满足

2.4﹤r≤3

时, 线段AB与⊙C有两个公共点. AC⑥当r满足

0﹤r﹤2.4或r>4时, 线段AB与⊙C没有公共点. 4分析：④强调线段AB，此时一个公共点有两种情况

ⅰ⊙C与线段AB相切

ⅱ⊙C与线段AB相交，且只有一个交点，即A在圆内，B不在圆内(圆上或圆外)。

⑤线段AB与⊙C有两个公共点，则线段AB与⊙C相交，则点A、B必不在圆内，由于A离圆心近，所以只要保证点A不在圆内，则点B必不在圆内。

⑥线段AB与⊙C没有公共点有两种情况ⅰ⊙C与线段AB相离ⅱ即A、B都在圆内。

BBB

3D3D3D

C4AC4ACA4

教师总结：只有一个公共点不代表一定相切，没有公共点不代表一定相离。

课后思考：如果改成射线AB呢？r的范围又会怎样？

『设计意图』例1是用数量关系来判定直线与圆的位置关系，而例1变式是已知位置关系确定数量关系，尤其④⑤⑥改为线段AB，难度加大，更能培养学生分析问题和解决问题的能力。

六、练习反馈：

1、已知⊙A的直径为6，点A的坐标（-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是_____,y轴与⊙A的位置关系是______，

原点o与⊙A的位置关系是

. 2、如图，已知∠BAC=30度，M为AC上一点，且AM=5cm，

以M为圆心、r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？

(1) r=2cm

（2）r=4cm

(3) r=2.5cm

七、小结思考

1、（1）直线和圆的三种位置关系及对应的数量关系

（2）直线与圆的位置关系的判定

①根据定义，由直线与圆的公点的个数来判断. ②根据数量关系，由圆心O到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断.

直线与圆的位置关系

图

形

公共点个数

公共点名称

直线名称

圆心到直线距离d与半径r的关系

相交

相切

相离

2．数学思想：类比、数形结合、分类讨论

八、板书设计

2.5直线与圆的位置关系

例1 公共点个数

位置关系

数量关系

2

相交

0≤d

相切

d=r 0

相离

d>r

B3C4DA