小结与思考教案2

中考数学复习专题——隐圆模型

教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法

教学重难点：分析题目条件，发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题

教学过程：

例1.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若

P 为△ABC 内一动点，且满足APC=150°，则线段

PB 长度的最小值为_________

分析：因为AC定长、∠APC=150°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=150°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC为边向下作等边△AOC，以O为圆心，OA为半径作⊙O，P在⊙O上。当B、P、O三点共线时，BP最短。

变式：如图，AC 为边长为23的菱形

ABCD 的对角线，∠ABC=60°，点

M、N 分别从点

B、C 同时出发，以相同速度沿

BC、CA 向终点

C 和

A 运动，连接

AM 和

BN，△APB 周长的最大值________

分析：由M、N点速度相同可知BM=CN，易证△ABM≌△BCN，所以∠APB=120°（定角），又因为AB长度固定（定弦），故以AB为底向左侧构建等腰△QAB，∠AQB=120°，则P在⊙Q上，当△ABP是等腰三角形时，△ABP周长最短。又由△APB是定角为120°的等腰三角形，故AP:BP:AB=1:1:3，AB=AC=23，故PB=PA=2，故△ABP的周长最大值为4+23

真题演练:如图，点

A 是直线

y=-x 上的一个动点，点

B 是

x 轴上的动点，若

AB=2，则△AOB 面积最大值为_________

分析：

学生1：因为AB=2（定弦），∠AOB=135°（定角），因为∠AOB 是圆周角，故圆心角为90°，以AB为斜边向上方作等腰直角△QAB，则Q为圆心（如图2），当OQ⊥AB时，此时△OAB的高OH最大，面积最大。面积为21。

学生2：题目有告诉你们A、B在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能等于45°吗？如图3，构建⊙Q，此时△OAB的面积最大为21。

方法归纳：

例2.

如图，在四边形ABCD中，DC∥AB, BC=6,AB=AC=AD=5,则BD的长为_____

分析：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．可知DF=BC=6，BF为直径，则∠BDF=90°，利用勾股定理可得BD=8. 例3.如图，长

2 米的梯子

AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子

AB 的中点

P 的移动轨迹长度是_________？

分析：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨

迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度。

变式：在矩形

ABCD 中，AB=2，AD=3，点

E，F 分别为

AD、DC 边上的点，且EF=2，G 为

EF 的中点，P 为

BC 边上一动点，则

PA+PG 的最小值为__

分析：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A＇，则AP+PG=A＇P+PG，当A＇、P、G 三点共线时，最短，又因为A＇为固定点，G在圆上运动，可知当A＇、G、D三点共线时，A＇G 最短，为4 真题演练：

1.如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，

则∠ACB=____。

2.在

Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点

F 在边

AC 上，并且

CF=1，点

E为边

BC 上的动点，将△CEF 沿直线

EF 翻折，点

C 落在点

P 处，则点

P 到边

AB 距离的最小值是________

分析：E是动点，导致EF、EC、EP都在变化，但是FP=FC=1不变，故 P 点到 F 点的距离永远等于1，故P在⊙F上运动，如图2。由垂线段最短可知，FH⊥AB时，FH最短，当F、P、H三点共线时，PH最短，又因为△AFH∽△ABC，所以

AF:FH:AH=5:4:3，又因为AF=5，故FH=4，又因为FP=3，故PH最短为3。

方法归纳：