2.2.1 椭圆的标准方程教学设计(第一课时)

2．2.1

椭圆的标准方程

学习目标

1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是否是椭圆．

知识点一

椭圆的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这两个________叫做椭圆的焦点，________________叫做椭圆的焦距．

知识点二

椭圆的标准方程

思考1

在椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？

思考2

怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在的坐标轴？

梳理

椭圆的标准方程

标准方程

焦点在x轴上

__________(a>b>0)

焦点在y轴上

__________(a>b>0) 图形

焦点坐标

a，b，c的关系

类型一

椭圆的标准方程

命题角度1

求椭圆的标准方程

例1

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

1(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B(，

3)；

2x2y2(2)经过点(3，15)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．

259

反思与感悟

求椭圆标准方程的方法

(1)定义法

即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．

(2)待定系数法

①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程．

特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．

跟踪训练1

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

35(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；

22(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；

(3)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)．

命题角度2

由标准方程求参数(或其取值范围) x2y2例2

若方程－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．

mm－2反思与感悟

(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．

m>0，xy(2)＋＝1表示椭圆的条件是n>0，

mnm≠n；22m>0，表示焦点在x轴上的椭圆的条件是n>0，

m>n；m>0，表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>0，

n>m.x2y2跟踪训练2

(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为k－4k－10________．

x2y2(2)若椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________. 4m

类型二

椭圆定义的应用

命题角度1

由椭圆的定义确定轨迹方程

例3

如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．

反思与感悟

用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c. 跟踪训练3

已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．

命题角度2

椭圆中的焦点三角形

x2y2例4

如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF254的面积．

引申探究

在本例中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连结BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．

反思与感悟

(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF1(或PF2)的方程求得22PF1(或PF2)；有时把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF2PF21＋PF2＝(PF1＋PF2)－2PF1·及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．

θ(2)焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan . 2x2y2跟踪训练4

设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一94PF1个直角三角形的三个顶点，且PF1>PF2，求的值．

PF2

1．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是________．

2．在椭圆的标准方程中，a＝6，b＝35，则椭圆的标准方程是________________．

3．若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________________．

4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的__________条件．

x2y25．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2的面积是1612________．

1．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．

2．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．

提醒：完成作业

第2章

§2.2

2.2.1

答案精析

问题导学

知识点一

常数(大于F1F2)

定点F1，F2

两焦点间的距离

知识点二

思考1

在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.

思考2

谁的分母大焦点在谁轴上．

x2y2x2y2梳理

2＋2＝1

2＋2＝1 abba(－c,0)与(c,0)

(0，－c)与(0，c) c2＝a2－b2

题型探究

x2y2例1

解

(1)方法一

当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab1∵A(0,2)，B(，3)在椭圆上，

2∴123＋ab＝1，22224＝1，b2

a2＝1，解得2

b＝4，

这与a>b相矛盾，故应舍去．

当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为

y2x2＋＝1(a>b>0)．

a2b21∵A(0,2)，B(，3)在椭圆上，

2

∴123＋ab＝1，22222a＝4，解得2

b＝1，4＝1，a2

y22∴椭圆的标准方程为＋x＝1. 4y22综上可知，椭圆的标准方程为＋x＝1. 4方法二

设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．

1∵A(0,2)，B(，3)在椭圆上，

24n＝1，m＝1，∴1∴1

m＋3n＝1，n＝，44y2故椭圆的标准方程为x＋＝1. 42

x2y2(2)方法一

椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，

259由椭圆的定义，可得

2a＝3＋42＋15－02＋3－42＋15－02，

∴2a＝12，即a＝6. ∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，

x2y2∴椭圆的标准方程为＋＝1. 3620方法二

由题意可设椭圆的标准方程为

x2y2＋＝1，

25＋λ9＋λ将x＝3，y＝15代入上面的椭圆方程，得

32152＋＝1，

25＋λ9＋λ解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，

x2y2∴椭圆的标准方程为＋＝1. 3620跟踪训练1

解

(1)∵椭圆的焦点在y轴上，

y2x2∴设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab

由椭圆的定义知，

2a＝

35－2＋＋22＋

2235－2＋－22＝210，

22即a＝10.又c＝2，

∴b2＝a2－c2＝6. y2x2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 106(2)∵椭圆的焦点在y轴上，

y2x2∴设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，

∴01a＋b＝1，2240＋＝1，a2b2

2a＝4，∴2

b＝1.

y22∴所求椭圆的标准方程为＋x＝1. 4(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．

∵点P(－23，1)，Q(3，－2)在椭圆上，

12m＋n＝1，∴代入得

3m＋4n＝1，

m＝15，∴1n＝5.1

x2y2∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 155例2

0

(1)(7,10)

(2)3或5 例3

解

∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，

∴AQ＝PQ. ∴AQ＋BQ＝PQ＋BQ＝6＞AB＝4，

∴点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，

且2a＝6,2c＝4，

∴a＝3，c＝2，即b2＝a2－c2＝5，

x2y2∴点Q的轨迹方程为＋＝1. 95跟踪训练3

解

如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，

∴PB＝r.

又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，

∴两圆的圆心距为PA＝10－r，

即PA＋PB＝10(大于AB＝6)，

∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．

∴2a＝10,2c＝AB＝6，

∴a＝5，c＝3，

∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. x2y2∴圆心P的轨迹方程为＋＝1. 2516x2y2例4

解

在椭圆＋＝1中，a＝5，

54b＝2，

∴c＝a2－b2＝1. 又∵P在椭圆上，

∴PF1＋PF2＝2a＝25.①

由余弦定理知，

2PF2PF2·cos 30°

1＋PF2－2PF1·2＝F1F22＝(2c)＝4.②

①式两边平方，得

2PF2PF2＝20.③

1＋PF2＋2PF1·③－②，得(2＋3)PF1·PF2＝16，

∴PF1·PF2＝16(2－3)．

∴S1＝PF·PF2·sin 30°

F1PF221＝8－43. 引申探究

解

由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为PB＋PF2＋BF2

＝(PF1＋PF2)＋(BF1＋BF2) ＝2a＋2a＝4a＝45.

跟踪训练4

解

当∠PF2F1＝90°时，

PF1＋PF2＝6，222由PF1＝PF2＋2c，c2＝5，

144PF17得PF1＝，PF2＝，∴＝. 33PF22当∠F1PF2＝90°时，同理求得PF1＝4，PF2＝2，

∴PF1＝2. PF2PF17综上，＝或2. PF22当堂训练

x2y2x2y21．2

2.＋＝1或＋＝1 36353536x2y23.＋＝1(y≠0)

4.充要

5.6 259