3.1.5 空间向量的数量积第二课时教学实录

宝应中学高二数学导学案 主备：王长春

课题：空间向量的数量积（一）

学习目标：（1）掌握空间两个向量的夹角的概念

（2）掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义

( 3) 空间向量数量积在求夹角、长度等方面的应用

学习重点：空间向量数量积的定义及在求夹角、模等方面的应用

学习难点：利用空间向量数量积的几何意义aa(a)2|a|2及把立几问题转化为向量问题

学习指导：

类比平面向量的数量积

学习过程：

活动一：自学与达标（请认真阅读教材P80-P84完成以下问题。）

问题1：在平面向量中，向量的运算除了和、差、数乘之外还有数量积，那么对于空间的向量数量积来说，我们可以类比平面向量的数量积，为什么呢？

问题2：空间中两个非零向量的夹角如何求？

如图，a,b是空间两个非零向量，过空间任一点O，作OAa,OBb,则AOB叫做向量a与b的夹角，记作

。

（1）夹角范围：

；

（2）性质： ； （3）若a,b0，则a与b___________________. 若a,b，则a与b__________________. 若a,b2，则a与b________________.记作_____________

问题3：空间向量数量积

1.定义：设a,b是空间两个非零向量,我们把数量________________________叫做a与b的数量积，记作____________.即_____________________________________. 想一想：（1）ab的结果仍是向量吗？

（2）如何求空间向量a与b的夹角？

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（3）空间向量a与b垂直_________________.

(4)aa(a)2|a|2，为什么？

2.运算律

（1）_________________.

（2）_________________.

（3）_________________. 想一想：0a＝

，0a＝

。两者之间有什么区别？

问题4：空间向量数量积的坐标运算如何进行？它与平面向量数量积的运算有何区别和联系？

空间向量数量积的坐标运算：

一般地，设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则ab

。

证明：

活动二：交流与讨论

例1已知ABC中，A(2,5,3),AB(4,1,2),BC(3,2,5)，求顶点B,C的坐标，向量CA及A。

例2：已知A(m,1m,2m),B(1m,32m,3m)是空间两动点，求AB的最小值。

例3：已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)。

(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；

(2)若a3，且a分别与AB,AC垂直，求向量a。

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活动三、拓展与应用

例4：在空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN。

O

QP

B

MA

N

C

例5：在空间四边形OABC中，若OA,OB,OC两两垂直，求证：ABC是锐角三角形。

例6：已知OA(1,2,3),OB(2,1,2),OC(1,1,2)，点M在直线OC上运动。当MAMB取最小值时，求点M的坐标。

例7：已知是空间三个不共线的向量a，b，c，求证：它们不共面的充要条件是存在三个不全为零的实数p，m，n，使pa+ m b+ n c=0

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活动四：检测与反馈

1．若a、b均为非零向量，则a•b＝|a||b|是a与b共线的 条件；

2．已知向量a(1,1,0),b(1,0,2)，而k则k的值为 ；

ab与2ab互相垂直，3．已知a(1t,1t,t),b(2,t,t),则ba的最小值为

；

4．与a(2,1,2)共线且满足ab18的向量b

；

5．已知a,b是单位向量，若a3b与7a5b垂直，则a,b

6．已知a13,b19,ab24,求ab；

7．在空间四边形OABC中，OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60，求OA与BC夹角的余弦。

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