利用完全平方差公式进行因式分解课堂实录【1】

4.3.2 公式法（二）

利用完全平方公式进行因式分解

●教学目标

（一）教学知识点

1.使学生会用完全平方公式分解因式. 2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式. （二）能力训练要求

在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力. （三）情感与价值观要求

通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力. ●教学重点

让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法. ●教学难点

让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式. ●教学方法

观察—发现—运用法

●教具准备

ppt ●教学过程

.创设问题情境，引入新课

［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？

在前面我们不仅学***方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

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而且还学***方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

本节课，我们就要学***方公式分解因式. 新课

一、.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点. ［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？

［生］可以. 将完全平方公式倒写：

a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. 便得到用完全平方公式分解因式的公式. ［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点. ［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解. ［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；

（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；

（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍. 右边的特点：这两数或两式和（差）的平方. 用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式. 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. 练一练

下列各式是不是完全平方式？

（1）x2+y2;

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（2）x2+2xy+y2; （3）x2－2xy+y2; （4）x2+2xy－y2; （5）－x2+2xy－y2; ［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍. ［生］（1）不是.因为没有x与y乘积的2倍；

（2）是

（3）是；

（4）不是；x2与y2的符号不统一. （5）是，

2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．

（1）x2+-------+y2; （2）4a2+9b2+--------; （3）x2－-------+4y2; （4）a2+--------+12b; 4（5）x4+2x2y+---------; ［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍. ［生］（1）±2xy （2）

±12ab （3）

±4xy （4）

±ab （5）

y2

二、例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49;

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（2）4a2－12ab+9b2

（3）（m+n）2－6（m +n）+9. （4）（m－2n）2－2（2n－m）（m +n）+（m+n）2. ［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式. 解：（1）x2+14x+49 =x2+2×7x+72 =（x+7）2 （2）4a2－12ab+9b2 =（2a）2－2·2a·3b+（3b）2 =（2a－3b）2

（3）（m +n）2－6（m +n）+9 =（m +n）2－2·（m +n）×3+32 =［（m +n）－3］2 =（m +n－3）2. （4）（m－2n）2－2（2n－m）（m +n）+（m+n）2 =（m－2n）2+2（m+2n）（m +n）+（m+n）2 =［（m－ 2n）+（m +n）］2 =（2m－n）2

［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy. ［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式. 如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式. 解：（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2

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（2）－x2－4y2+4xy =－（x2－4xy+4y2）

=－［x2－2·x·2y+（2y）2］

=－（x－2y）2

三、随堂练习

1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的 a,b 各表示什么？

（1）x2－6x+9 （2）1+4a2

（3）x2－2x+4 （4）4x2+4x－1 1（5）1+m2－m 4（6）4y2－12xy+9x2

解：（1）是完全平方式,a表示x,b表示3. （2）

不是完全平方式. （3）不是完全平方式. （4）不是完全平方式. （5）是完全平方式,a表示1,b表示1m. 2（6）是完全平方式,a表示2y,b表示3x. 2.

把下列各式分解因式：

（1）x2－12xy+36y2

（2）16a4+24a2b2+9b4

（3）－2xy－x2－y2

（4）4－12（x－y）+9（x－y）2

2.解：（1）x2－12xy+36y2

=x2－2·x·6y+（6y）2

=（x－6y）2; （2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2

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=（4a2+3b2）2

（3）－2xy－x2－y2

=－（x2+2xy+y2）

=－（x+y）2; （4）4－12（x－y）+9（x－y）2

=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2

=［2－3（x－y）］2

=（2－3x+3y）2

四、联系拓广

1.

用简便方法计算：

2005²－4010×2003+2003²

解： 2005²－4010×2003+2003²

= 2005²－2×2005×2003+2003²

=（2005－2003）2 =4 2.将4x2+1再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？

解：±4x 4x4

课时小结

这节课我们学***方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：

（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.

课后作业

习题4.5中1、2题

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拓展作业：

1. 两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？

2.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”

4x28x114x28x474(x22x1)74(x1)274(x1)204(x1)277板书设计

§4.3.2 公式法（二）

一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点

2.例题讲解

例1、例2 二、课堂练习

a.随堂练习

b.联系拓广

三、课时小结

四、课后作业

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