用平方差公式因式分解课堂实录及点评

9.5多项式的因式分解（2）

——用平方差公式因式分解教学设计

南京市紫东实验学校 周彬

一、设计思想

本节课围绕“引导学生有效预习”进行设计的，通过预设的问题引发学生思考，在学生的预习基础上回答相关的问题，产生对整式的乘法、提公因式法和公式法的对比。 让学生充分自主的对知识产生探究，同时利用数形结合的思想验证平方差公式；再通过质疑的方式加深对平方差公式结构特征的认识，有助于让学生在应用平方差公式行分解因式时注意到它的前提条件；通过例题练习的巩固，让学生把握教材，吃透教材，让学生更加熟练、准确，起到强化、巩固的作用，让学生领会换元的思想，达到初步发展学生综合应用的能力。

二、教材分析

本节课是苏科版初中数学（2012）七年级下册，第9章整式乘法与因式分解，9.5多项式的因式分解，运用提公因式法后公式法的第一课时——用平方差公式法分解因式。它是整式乘法的平方差公式的逆向应用，它是解高次方程的基础，在教材中具有重要的地位。在教材的处理上以学生的自主探索为主，在原有用平方差公式进行整式乘法计算的知识的基础上充分认识分解因式。明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，让学生学会合情推理的能力，同时也培养了学生爱思考，善交流的良好学习惯。

三、学情分析

本节课所教授的为南京市新优质初中学生学习程度相对中等，学生已经学习了乘法公式中的平方差公式，本节课是整式乘法的平方差公式的逆向应用，学生在前一阶段的学习中掌握效果较好，为本节课的教学奠定了良好的基础。同时初一的数学教学以“引导学生有效预习”为小课题，学生已经建立较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。但是学生的预习与课堂的学习仍需要教师的合理引导和有效掌握，对一些相对落后的学生来说应注重突出重点，分析透彻，所以在教学时充分考虑到学生已经掌握平方差公式的前提，通过问题引发学生思考，提高学生兴趣入手，培养学生的自主探索，合作交流的能力，在轻松的氛围中完成教学任务，从而增强学好数学的愿望与信心

四、教学目标

（一）知识与技能

1

1．掌握运用平方差公式分解因式的方法。

2．掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合应用。

（二）过程与方法

1．经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。

2．通过乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理地思考及语言表达能力。

3．通过活动4，将高次偶数指数向下次指数的转达化，培养学生的化归思想。

4．通过活动1，发现并归纳出因式分解的又一方法：逆用整式乘法的平方差公式，得到a2-b2 =(a+b)(a-b)。

5．通过活动4，让学生自己发现问题，提出问题，然后解决问题，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

（三）情感与态度

1．通过探究平方差公式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自己信心。

2．在探究平方差公式和运用平方差公式分解因式的活动中，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的风解，能从交流中获益。

五、教学重难点及方法

教学重点：应用平方差公式分解因式。

教学难点：灵活应用公式法和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求。

六、教学过程

（一）提出问题，引发思考

活动一 做一做

（1） (a+b)(a-b)= （2） 3a-3b= （3） a2-b2= [生]： (a+b)(a-b)= a2-b2 （乘法的平方差）

3a-3b= 3（a-b）

（提公因式进行因式分解）

a-b= (a+b)(a-b) 以上三个从左边到右边的变形哪些是因式分解？

在乘法公式中我们称(a+b)(a-b)=a2-b2

是乘法的平方差公式，

那么a2-b2= (a+b)(a-b) 我们也可以称它为因式分解的平方差公式

22a2-b2 （a+b）（a-b）

和（差） 积

2

如果被分解的多项式符合公式左边的条件，就可以直接写出右边因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。

活动二

验证平方差公式：边长为a的正方形挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证因式分解的平方差公式。

a a b

a

a2-b2 =（a+b）（a-b）

左边是平方差的形式，右边是两数和与两数差的积的形式。

（二）设疑拾趣，层层深入

例1：把下列各式因式分解

（1）36－25x2

（2）16a2－9b2

a a b

b

（3）9ab4ab

22

通过这几题你能说出什么样的二项式可用平方差公式分解因式呢？

归纳：系数能平方，指数要成双，两项的符号不一样，这样的二项式可用平方差公式分解因式。

活动三[猜一猜] 现在你能判断下列的多项式能否用平方差公式来因式分解？

（1）x2 + y2 （2）— x2 + y2

（3）4x2 — y4 （4）-x2 — y2 [师] 是否所有的二项式都能用平方差公式进行因式分解呢？我们发现要具备平方的差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解：

3

—

=（ ）（ ）

2 2

活动四［试一试］

因式分解

(1)

1-x2

(2)

x2-9y2

(3)

4x2-25 (4)

x2y2-z2

(5)

(x+2)2-9

(6)

(x+a)2_ (y-b)2 例2：

如图，求圆环形绿化区的面积。

解：

352π－152π

=π(352－152) =(35+15)(35－15)π

=50×20π

=1000π(m2) 答：这个绿化区的面积是1000πm2

（三）课堂小结

（1）系数能平方，指数要成双，两项的符号不一样，这样的二项式可用平方差公式分解因式。

（2）多项式分解因式的结果要化简。

（3）在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项。

（四）课后作业

1．课本P87

习题9.5

3、4。

2．评价：P47-48

4