21.1 二次根式特级教师教学实录

《二次根式》教案（第1课时）

一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的概念．

2．内容解析

本节课是在学生学***方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念．它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础．

本节课的教学重点是：根据算术平方根的意义了解二次根式的概念．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，明白被开方数必须是非负数的原因．

（2）会用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系．

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能从具体数的算术平方根出发，过渡到含字母的情况，通过算术平方根的概念得到二次根式的概念，并根据算术平方根的意义得到二次根式被开方数和结果均为非负数的结论．

达成目标（2）的标志是：学生能够根据实际问题，利用开平方运算的意义，列出二次根式．

三、教学问题诊断分析

二次根式概念的获得，要让学生经历其抽象的过程，借此培养学生的抽象概括能力，加深学生对二次根式概念的理解．教学时，要充分利用教材的“思考”栏目，从生活中的实际问题引入，以激发学生的学习兴趣，让学生体会由特殊到一般的过程，由此给出二次根式的定义．在二次根式的概念中，为什么要强调被开方数大于等于零？引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由以及二次根式的结果的非负性，所以二次根式的双重非负性是本节课的难点．

四、教学过程设计

（一）创设情景，提出问题(可播放视频：《二次根式》导入，引入新课)

电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r2Rh，其中地球半径，R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是2Rh12Rh2．你能化简这个式子吗？

问题１

式子2Rh12Rh2表示什么？公式中r2Rh中的2Rh表示什么意义？

师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让他们发现与已学过的整式运算、分式运算一样，式子2Rh12Rh2也是一种运算，只有先认识了2Rh的意义，才能在此基础上再进一步研究这类式子的性质及其运算．

设计意图：通过问题引起学生的思考和讨论，通过比较发现式子从而引出本节课将要学习的内容．

问题2

用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：

（1）面积为3的正方形的边长为_______，面积为S的正方形的边长为_______．

（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为______m．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h＝5t2．如果用含有h的式子表示t，则t为＝_____．

师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示相关数量，教师进行适当引导和评价．

设计意图：让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．

（二）合作探究，形成知识

2Rh12Rh2是一种新的运算，

s，

65，

上面问题中，得到的结果分别是：3，（1）这些式子分别表示什么意义？

（2）这些式子有什么共同特征？

h．

5

师生活动：教师引导学生说出各式的意义．（分别表示3，

s，

65，

h的算术平方5根．）概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．

把形如3，

s，

65，

式．（学生总结）

一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“共同总结）

（4）提醒学生注意二次根式定义包含的内容．

①必需含有二次根号“②被开方数a≥0．

③a可以是数，也可以是含有字母的式子．

（5）在二次根式的定义中，为什么要有条件“a≥0”？

教师引导学生回想4、0的算术平方根分别是什么？－4有没有算术平方根？最后总结只有非负数才有算术平方根．

设计意图：采用具体到抽象的方式，通过归纳，得出二次根式的概念．

（三）初步应用，巩固知识

练习：二次根式和算术平方根有什么关系？

学生通过小组合作交流得出：二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．

【例1】当x是怎样的实数时，解析：要是”．

”称为二次根号．（师生h用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根5x-2在实数范围内有意义？

x-2在实数范围内有意义，则应满足被开方数x－2≥0．

解：由x－2≥0，得x≥2．

当x≥2时，x-2在实数范围内有意义．

23【例2】当x是怎样的实数时，x在实数范围内有意义？x呢？

解：因为x2≥0，

所以，当x为任意实数时，x2在实数范围内都有意义．

由x3≥0，得x≥0．

当x≥0时，x3在实数范围内有意义．

设计意图：通过练习、例1、例2，加深概念理解．

（四）比较辨别，探索性质

请比较a和0的大小．

先让学生独立思考，然后教师引导学生根据概念，分a＞0和a＝0两种情况进行讨论．

当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0；

当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0；

这就是说，a（a≥0）是一个非负数．

设计意图：强化学生对二次根式双重非负性的认识．

（五）综合应用，深化提高

练习1

判断下列各式哪些是二次根式：

（1）16；

（2）a10（a≥－10）；

（3）a21；

（4）x（x≤0）．

学生先独立完成，后小组展示确定二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于零），所以（2）、（3）、（4）均为二次根式．

练习2

当x是什么实数时，下列各式有意义．

（1）34x；

（2）x；

x1（3）x2；

（4）x22x．

解：（1）由3－4x≥0，得x≤3．

4（2）由x≥0 ，得x≥0且x1．

x1≠0，2（3）由x≤0，得x0，x2有意义；x0时，x2无意义．

（4）由x2≥0且2x≥0，得x2．

设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件．

（六）课堂小结

（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

a中的a≥0；a≥0．二次根式的双重非负性．

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根是二次根式．

设计意图：回顾本节课所学的二次根式的概念，再次确定二次根式有意义的条件；理解二次根式的双重非负性以及二次根式与算术平方根的关系．

（七）布置作业

1．要使式子2x有意义，则x的取值范围是（

）．

A．x0

B．x≥2

C．x≥2

D．x≤2

2．已知y＝2x5＋52x＋3，则2xy的值为（

）．

A．15

B．15

C．1515D．

2

21；

x13．求使下列各式有意义的x的取值范围？

（1）x2－32x；

（2）x－（3）y12x1；

（4）．

|x|2x14．已知2a1＋b2a＋abc＝0．求a、b、c的值．

作业答案：

1．D．

2．B．

3．（1）2≤x≤31；（2）x≤0且x1；（3）x≥0且x1；（4）x≥且x2．

224．∵2a1≥0，b2a≥0，abc≥0，2a1＋b2a＋abc＝0，

∴2a－1＝0，b－2a＝0，a＋b＋c＝0．

∴a13，b1，c．

22五、目标检测设计

1．指出下列哪些是二次根式？

（1）5；

（2）3；

（3）321；

（4）x21；

（5）a2（a≥2）；

（6）ab（a＜b）．

设计意图：考查二次根式的概念．

2．a取何值时，下列根式有意义？

（1）a1；

（2）122；

（3）（a1；

（4）a22a1；

（5）．

）（a1）12a设计意图：考查二次根式有意义的条件．

3．若164n是整数，则自然数n的值为___________．

设计意图：考查二次根式的有意义的条件．

目标检测答案：

1．（1），（4），（5）是二次根式．

2．解：（1）由a＋1≥0，得a≥－1；

1（2）由1－2a＞0，得a＜；

2（a1）≥0，得a为任何实数；

（3）由（4）a为任何实数；

（5）a＝1．

3．0，3，4．

2