12.1 二次根式主要内容及教案内容

课

题

课

型

教

学

目

标

12.1二次根式

新授

主备人

课时

执教者

授课时间

1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；

2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；

3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．

教学重点

教1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳学要教学难点

获得二次根式的性质；

点

2．理解、掌握、运用二次根式性质（a

）2＝a（a≥0）．

教学法指导

教具准备

观察、讨论、归纳、由特殊到一般

探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．

教学过程

情景引入

师生活动

设计意图

通过回顾平方根算术平方根的有关***方根的定义，算术平方根的定义，为本节课铺垫。

利用正方形面积公式得出x²=a的形式，利用平方根定义解决。

情景一：

1、9的平方根是： ，9的算术平方根是： 。

2、x²=16，则x= 。

师出示题目，生回3、如果x²=a（a≥0）,则x= 。x叫做a答。

的 。

a表示 ;

a表示

;

-a表示

. 生利用正方形的面积公式得出x²情景二：

=2，从而再次利用平方根的定义得面积为2cm²的正方形的边

2 出正方形的边长。

长为

cm

面积为8cm²的正方形的边

2 2 长为

cm。

2 2

（2）边长为1的正方形的对角线的长；

（3）面积为S的圆的半径；

（4）直角边长分别为a、b的直角三角形的斜边；

（5）一个物体下落h（m）所需的时间t（s）满足

2

试用h表示t(g的值取10m/s²关系式

h



1

gt

) 2

探究一

观察下列各式，发现它们有什么共同特点？

2sh

a

2



b

2

5

π特点：(1)都含有“”

; 22

(2)都表示一个非负数的算术平方根。

(3)被开方数既可以是一个具体的数，也可以是一个含有字母的式子；

（4）

ba

这样的式子也是二次根式，b与a

是乘积关系

a（a≥0）叫做二

叫做二定义：一般地，式子

次根式，a叫做被开方数，其中

次根号。

例、下列哪些式子是二次根式？为什么？

(1)35(2)(3)32(4)(3)2xy(x、y异号)3

(5)2

(6)12读题，回答问题：

根据熟悉的正方形面积学生一：2. 公式，圆面积公式，勾s学生二：. 股定理等公π式，列出形如x²=a的形22学生三：ab. 式，很自然再次利用刚h刚所复习的学生四：s. 5平方根的定师：

义解题。

先出示前四个式

子，引导学生从形

式上不难看出第

一个特征：都含有

这儿总结出

二次根式的“”，师再引四个特征，导学生得出被开加强对二次方数都是非负数，

根式定义的s理解，为辨2＞0，＞0，

别是否是二πh次根式打基a＞0，≥0。

础。

5师：

上学期我们学了

一个数的平方根，

算术平方根，观察

这四个式子，被开

方数都是一具体

的数值吗？得出

特征3.

再出示面积为8

的正方形边长

22，问：这是二

次根式吗？从而

总结出第4个特

征。

通过学生相

互讨论使学生：互相讨论，

生主动参与

踊跃回答

到学习活动

中来，培养

(1)32

(2)12

(3)a21

生：独立思考

直接回答

(4)m

(5)47

(6)55

探究二：

问题一：

生：讨论

当a＜0时，a有意义吗？为什么？

师引导生回答：若a＜0，则x²=a，

但我们发现在实数范围内一个数结论：当a≥0时，a有意义。

的平方不可能是负数，所以a不可

能＜0.

（3）

例2：

x是怎样的实数时，下列式子在实数范围解：∵不论x取何值内有意义？

时，总有x²≥0，

-x²≤0，

(1)x5

(2)x21

(3)x2

∴只有当x²=0时，二次根式(4)x123x

(5)x11x

x2在实数范2x1围内才有意义。

(6)(2013.襄阳)

3x

练习：下列哪些式子是二次根式？为什么？

方法方指导: (1)能确定谁是被开方数a；

(2)

利用a≥0列出不等式或不等式组求字母取值范围；

(3)

有分母时要注意分母≠0。

（5）

由

x-1≥0

1-x≥0 得

x≥1

x≤1 所以当x=1时，学生合作交流的学习习惯，问题设置的目的，是使学生充分理解二次根式的定义。

由二次根式的定义可知：a≥0，这里反向提出问题，如果a＜0，a有意义吗?

师规范板书格式，起示范作用。

（1）

x11x在实数范围内有意义。

（6）

提示

2x-1≥0

3-x≠0

练习：要使下列各式有意义，x应是怎样的实数

(1)x5

(2)3x4

(3)110x

(4)x2

(5)2x112x

(6)(2013.广州)

问题二

a≥0时，a可能为负数吗？

结论：

当a≥0时，a有意义，且a≥0

且当a=0时，a有最小值0，即0=0。

例：已知a+b=0，求a与b的值。

练习：（2013广东）若实数a、b满足a2ab+b4=0，则=

。

bx

x1

部分学生板演，其余做在本上。

师生共同点评。

师：

得出a双重非负性：即a≥0，

a≥0 师生共同总结非负数的几种形态：

绝对值，二次根式，完全平方。

即a≥0

a²≥0

巩固

通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳猜想二次根式的性质，再运用算术平方根a≥0

求（

）²=4 探究三: 也就是求4的平11、（

）²=4，（

）²=2，（

）²=

方根

2

验证：

12、（4）²= ，（2）²= ，（）²=

。

先由x²=a（a≥0）

3

得出，x=a，的意义进行结论：

当a≥0时，（a）²=a

解决探究1. 科学的说理再抽出a的算术验证．

平方根a，从而

例3：计算

得出a=a 2

2

2222（1）3

（2）3

（3）54



生交流，回答。

2（4）ab（a+b大于等于0）

师：板书

222

222（5）x

（6）x1x

练习

2生练习巩固

32（1）13

（2）

7



2

222282（3）

（4）ab.

二次根式的性质的逆应用:

当a≥0时，

逆运算

当a≥0时，

生：交流，讨论，

（a）²

=a

a=（a）²

代表发言。

应用：

利用平方差公式和完全平方公式，(1)把下列各数写成非负数的平方的形式：

结合本知识点，不5=

；7=

。

难解决此题。

（2）在实数范围内分解因式：

①x²﹣5

②2x²﹣14

③x222x2

总结：

1．二次根式的意义；

2．二次根式有意义的条件；

讨论后共同小结．

3．二次根式的基本性质．

通过例3及练习的设置，理解二次根式的性质，能直接运用其性质解决问题．

逆运算的设置拓宽学生的思维，弥补了初一时在有理数范围内无法因式分解的问题，使学生在实数范围内感觉豁然开朗。

师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．



课后作业：

1．《课本》P151第1、2题．

2．思考：若实数x、y满足x3＋（y＋2）2＝0，求y x 的值．

学生课后独立完成，师批改。

进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用．