配方法教学实录与评析

《一元二次方程的解法》教案

课题：1.2 一元二次方程的解法

教学目标

1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，会用配方法解决一些具体题目．

3.会熟练应用公式法解一元二次方程．

4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．

重难点关键

重点：1.讲清配方法的解题步骤．

2.求根公式的推导和公式法的应用．

3.应用因式分解法解一元二次方程．

难点与关键：1.把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．

2.一元二次方程求根公式法的推导．

3.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解．

教学过程

一、复习引入

(学生活动)解下列方程：

(1)x-8x+7=0 (2)x+4x+1=0

老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．

222解：(1)x-8x+(-4)+7-(-4)=0

2(x-4)=9

22x-4=±3即x1=7，x2=1

(2)x+4x=-1

x2+4x+22=-1+22

2(x+2)=3即x+2=±3

2x1=3-2，x2=-3-2

二、探索新知

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．

例：解下列方程：

22(1)x＝2 (2)4x－1＝0

分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x＝a的形式，再用直接开平方法解之. 例：解下列方程：

222(1)x+6x+5=0 (2)2x+6x-2=0 (3)(1+x)+2(1+x)-4=0

2分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

2解：(1)移项，得：x+6x=-5

2222配方：x+6x+3=-5+3(x+3)=4

由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5

2(2)移项，得：2x+6x=-2

2二次项系数化为1，得：x+3x=-1

2配方x+3x+(322)=-1+(322)(x+32)=254

5232由此可得x+32=±52，即x1=252-32，x2=--

(3)去括号，整理得：x+4x-1=0

2移项，得x+4x=1

2配方，得(x+2)=5

x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2

三、应用拓展

用配方法解方程(6x+7)(3x+4)(x+1)=6

分析：因为如果展开(6x+7)，那么方程就变得很复杂，如果把(6x+7)看为一个数y，那么(6x+7)=y，其它的3x+4=222212(6x+7)+12，x+1=16(6x+7)-16，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．

解：设6x+7=y

则3x+4=12y+12，x+1=1216y-1616

162依题意，得：y(y+12)(y-)=6

2去分母，得：y(y+1)(y-1)=72

y2(y2-1)=72，

y4-y2=72

(y-212)=22894

y2-12=±172

y2=9或y2=-8(舍) ∴y=±3

当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-23

5353当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-23

所以，原方程的根为x1=-，x2=-

2用配方法解一般形式的一元二次方程：ax+bx+b=0(a≠0) 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

1．当b2-4ab>0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个不等实数根；

2．当b2-4ab=0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个相等实数根；

3．当b2-4ab<0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)没有实数根．

22一般的，式子b-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)根的判别式.用字母△表示.即△=b-4ab.

一元二次方程的判别式与根的情况有何关系？

2(1)当方程有两个不相等的实数根时，b-4ab>0

2(2)当方程有两个相等的实数根时，b-4ab=0

2(3)当方程没有实数根时，b-4ab<0

2你能用公式法解方程2x-9x=-8吗？

2解：2x-9x+8=0 1.变形：化已知方程为一般形式；

∵a=2，b=-9，b=8 2.确定系数：用a，b写出各项系数；

△=b-4ab=(-9)2-4×2×8=27>0

3.计算：b2-4ab的值；4．代入：把有关数值代入公式计算；

xbb224ac2a917

2294941717.9417x1;x2.

5．定根：写出原方程的根. 用公式法解一元二次方程的一般步骤：

1、把方程化成一般形式，并写出a、b的值；

2、求出△=b2-4ab的值；

3、代入求根公式；

4、写出方程的解；

定义：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

例：解下列方程

2(1)x(x2)x20 (2)5x2x14x22x34

解：(1)把方程x(x2)x20因式分解得

(x2)(x1)0→x20或x10

∴x12,x21

(2)5x2x214x22x34

移项，合并同类项，得4x210→4x2120

因式分解，得(2x1)(2x1)0

于是得2x10或2x10

∴x112,x212

归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0．配方法，公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程．

四、归纳小结

本节课应掌握：配方法、公式法、因式分解法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．