直角三角形全等的判定教学设计(第一课时)

北师大版八年级下册第一章第二节

第一章

三角形的证明

§1.2直角三角形（2）

--直角三角形全等的判定

银川市第二十一中学

黄静

一、学情分析

1．从知识储备上看：八年级学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经学习了图形的全等、掌握了一般三角形全等的判定方法勾股定理以及用尺规作图：一个角等于已知角、作三角形。且在一系列的实践活动中，积累了一定的探索与推理经验，已经具备了进一步探索并证明判定直角三角形全等定理的基础，这为学好本节课做好了铺垫。 2.从学习过程上看：在相关知识的学习中，学生已经经历了观察、测量、画图、比较、推理、交流等活动，积累了一定的数学活动经验；同时还在探索图形全等的过程中，发展了推理能力和有条理的表达能力，具备了一定的合作探索与合作交流的能力。

二、教学任务分析

本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。本课时在学生现有知识和活动经验的基础上，提出了具体教学及学习任务：经历探索直角三角形全等条件的过程，用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的条件，能熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等，并解决一些简单的实际问题。为此本节课的教学目标定位为：

1.探索并掌握判定直角三角形的“斜边、直角边”（HL）定理，会利用这个定理及一般三角形全等的判定方法判定两个直角三角形全等；

2. 能用尺规完成已知斜边和一条直角边会作直角三角形。体会作图方法的多样性，理解作图步骤，获得判断直角三角形全等的特殊条件。

3.通过合情推理探索“斜边、直角边”定理和用演绎推理加以证明的方法过程，让学生经历“探索、发现、猜想、作图、观察、证明”等活动，体会证明的必要性及证明过程的多样性。

在定理的证明及应用的过程中，熟练使用“综合法、分析法”探讨解题思路，会综合法证明的格式。

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4.通过探究判定直角三角形全等的条件，进一步发展空间观念、推理能力和动手能力，以及有条理的表达能力。渗透从特殊到一般、类比、几何直观、比较、归纳、逻辑推理、分类讨论的数学思想。

【教学重点】掌握“斜边、直角边”（HL）定理和判定直角三角形全等条件的灵活应用。

【教学难点】HL定理的获得与证明。

三、教学策略及教法设计

教师在教学中起主导作用，是学生实践活动的组织者、引导者与合作者。学生是学习的主体，是学习的主动参与和知识建构者。

1.创设问题情境。激发学生的好奇心和求知欲，使学生敢于发表自己的想法，敢于质疑，敢于创新，养成认真勤奋，独立思考，合作交流的学习习惯。发展勇于质疑，严谨求实的科学态度。

2.转变教学方式。在合理分组的前提下，学生的课堂学习采用的是自主学习、生生互助、师生互助的方式。遇到问题时，首先学生自己独立思考，对问题进行初步探究，然后小组内交流学习成果，最后在全班展示学习效果。在与他人合作交流过程中，能较好地理解他人的思想方法和结论，内化知识。展示时，及时进行评价，采用生生评价，师生评价的评价方式。

3.教师的引导不是牵引。教师引导学生经历探索、发现、猜想、作图、观察、证明等数学活动过程，培养学生尊重科学、尊重事实、严谨细致的科学态度，发展空间观念、推理能力和动手能力，自主探究、合作交流和分析归纳证明能力，以及有条理的表达能力。

4.学生的学习采用的方法

1探索发现

○2操作法：感受几何直观，激发学生兴趣。

○3讨论法。培养学生自主探究、合作交流的能力。

○4多媒体电化教学。让学生通过课件展示进行探究活动，通过课件的演示，把知识○更直观、更形象地展示给学生，降低了难度，便于学生理解和掌握。

四、教学过程分析

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1情境引入，提出问题；○2设疑猜想，主动探究；○3本节课设计了七个教学环节：○4布置作业，巩固提高；○5板书设计；○6巩固升华，拓展思维；反思提炼，反馈提升；○7反思评价，自我检测。

○

教学

环节

教

师

活

动

学生活动

设计意图

以生活实际问题引入，激发学生的学习兴趣与热情；引出猜想，也为HL判定定理的应用埋下伏笔，体会从特殊到一般的数学思想。

一

动态演示：“滑梯故事”几天前小明带着

情弟弟去玩滑梯，弟弟和小朋友刚刚正在玩境滑梯。突然小明发现滑梯所在的两个直角

引三角形是全等三角形，于是便找来了工作

入人员。工作人员告诉他：“左右两边滑梯，的长度都是5m,左边滑梯的竖直高度与右身临其境

提边滑梯的水平长度都是3m.”于是，他便认认真观察

出定两个直角三角形是全等三角形。

问引课：你知道他是怎么判定两个直角三角形

题

全等的吗？今天我们一起来学习§1.2直角

三角形（2）--直角三角形全等的判定

（板书1）。

（一）探究“斜边、直角边”定理

活动1：设问质疑

白板展示1：

“左右两边滑梯的尺寸都是5m,左边的滑梯的竖直高度与右边滑梯的水平长度都是3m.”

设疑猜想二

，

主

动

探

究

问题1：大家认为这两个滑梯所在的直角三问题1：思考

角形全等吗？请说明理由。

并回答问题，

提出猜想：

活动2:作图验证

通过合情推理探索“斜边、直角边”定理；通过思考判定直角三角形全等的条件，进一步发展空间观念、推理能力，以及有条理的表达能力。渗透类比、分类讨论、归纳的数学思想。

1.通过作图、观察、比较、交流

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白板展示2：

尺规作图：已知一条直角边和斜边,求作一1.独立思考；带白学生代个直角三角形。

表黑板作图；

2.讨论并回答问题；展示典型作图，通过组内、组外学生点评，师生反思尺规作图该注意

的问题。

要求：

1.先独立思考（2分钟）；

2.再与小组同学交流你的作法（2分钟）。

3．问题2：剪一剪，你作的直角三角形与

同桌作的全等吗？

主要信息技术应用：西沃授课助手拍照上

传展示作图

活动3：理论证明

问题3：这个猜想是真命题吗？只有经过证1.回答问题；

明的真命题才能成为定理，找到判定两个2.独立证明；

直角三角形全等的方法。请大家在导学案（1）学生独上独立完成证明过程。

立思考；

（2）小组内白板展示3：

交流证明思路，方法，解惑；

（3）学生展示、评价、纠错。

等活动探索直角三角形全等的特殊条件，给学生充分实践和探索的空间，加深学生的直观感知和合情推理的能力。渗透几何直观、比较、由特殊到一般的思想方法。

2.通过展示交流：体会作图方法的多样性，理解作图步骤，启迪思维，获得判断直角三角形全等的特殊条件。

通过对HL定理用演绎推理加以证明的方法过程，使学生

经历定理获得

的过程：在图形中抽取信息—归纳概括—提出猜想—作图验证—理论证明，在这一过程

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已知：如图，在△ABC与△A’B’C’中，

∠C=∠C’=90°，AB=A’B’,AC=A’C’.

求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’

要求：

1.先独立思考，在导学案上写出证明过程；

2.组内交流；

3.全班展示。

主要信息技术应用：西沃授课助手拍照上

传展示证明过程，并在手机上批注更改，

快速，高效。

展示：

斜边、直角边（HL）定理：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三

角形全等。

符号语言：

∵∠C=∠C′=90°，AB=A'B'，BC=B'C'

∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' （HL)

小结：“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊

方法。

(二)“斜边、直角边”定理的应用

看一道和“滑梯故事：相似的一个例题：

中进一步感受证明的必要性及证明方法的多样性。渗透逻辑推理、由特殊到一般的数学思想。

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例题

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？

分析：引导学生从下面角度观察、思考，分析直角三角形的特性和HL定理使用的条件。

（1）∠B和∠F分别在哪两个三角形中？这两个三角形属于哪类三角形？

（2）在Rt△ABC和Rt△DEF中有哪些分别相等的量？

（3）∠B和∠F的大小有什么关系？为什么？

要求：

1.先独立思考

2.师生交流

3.在导学案上写出证明过程。（2.5分钟）

1.学生代表分析；

2.学生代表在黑板上板书证明过程；

3.学生导学案上独立完成证明过程。

4.其他学生上台批改，纠正、规范符号语言的使用，全班学生自己改错。

在定理应用的过程中，熟练使用“分析法”探讨解题思路，会综合法证明的格式。通过例题，加深学生对定理的理解，明确定理的使用环境和符号语言应用格式，将新知识内化为自己的能力。渗透逻辑推理的数学思想。

练习1：用三角尺可以画角平分线：

已知:如图,OM=ON,PM⊥OA于M,PN⊥OB于1.

学生独立N. 思考证求证:∠AOP=∠BOP. 明；

2.

小组交流：HL 符号语言规范的使用，规范写题格式。

3.

展示小组主要信息技术应用：

内成果，及时评价。

1．“用三角尺可以画角平分线”微视频演

示；

2.西沃授课助手拍照上传展示证明过程，

微课内容简短，形象生动。将三角尺画角平分线的知识蕴含在应用定理的证明题中。激发学生的兴趣，是HL的直接应用。启发了学生关注∠OMP=∠ONP=90°这个条件，体会HL定理的特殊性，再次体现HL符号语言的规范使用。渗透逻辑推理的数学思

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随时根据学生的点评在手机上批注更改，快捷高效，规范了书写格式。

练习2：如图,已知∠ACB=∠BDA=90° , 要

1.

学生独立使△ABC≌△BAD, 还需要什么条件?把它思考；

们分别写出来，并选一个加以证明. 2.

全班交流；

3.

学生代表发言。

要求：

1.先独立思考（2分钟）；

学生主动发2.再与小组、全班同学交流你的作法。

言

主要信息技术应用：

小结时：西沃授课助手及时拍照上传展示添加条件。调用西沃动画，手写，颜色填充等功能。

练习3：判断下列命题的真假，并说明理由：

（1）

两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）

一个锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等；

（3）

一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

（4）

两直角边对应相等的两个直角三角形全等；

主要信息技术应用：

西沃自带学生小组活动功能，拖动演示并调用笔手写理由，达到交互目的。

想。

在定理的应用过程中熟练使用“综合法”探讨解题思路。

引导学生思考有可能从哪些角度出发添加条件，使这两个直角三角形全等。体会HL定理是判定直角三角形全等的特有方法和简单方法，但不是唯一的方法。渗透逻辑推理、分类讨论的思想。

估计学生能迅速做出判断。因此引导学生分类讨论小结：判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”外，还可以使用“HL”，它是简单方法但不是唯一方法。渗透分类讨论的思想。

总结：

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通过练习2，练

习3，学生全面

分析直角三角

形全等的条件，

有助于提高分

析能力和综合

能力。

活动5：小结

1.判定两个直角三角形全等的条件有哪些？

2.在分析两个直角三角形全等时，其他方法都需要三个条件，而“HL”只有两个条件，你怎么看？

3.在课堂上，我们探究HL定理经历了怎样的过程？通过这个过程，你有什么感受和体会？

三

反思提炼，反馈提升

学生大胆回答问题，认真回忆知识历程。

以具体问题让学生从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个维度对本节课进行系统的回顾，帮助学生积累属于自己的数学活动经验，渗透数学思想。

四

布置作业

，巩固提高

学生课后进基础作业：课本P20随堂第2题，P21知识一步运用HL定理及判定技能

第1题；

直角三角形自主作业：P21知识技能第2题、练习拓广全等的其他方法。

第5题；拓展思维问题。

巩固、内化所学知识，形成能力，有所创新，有所提高，达到活学活用新知识的目的。让不同能力层次的学生达到不同的发展，因材施教。

板书设计

五

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六

巩固升华，拓展思维

已知：如图，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，且AC=AD,E是AB上一点．

求证：BC=BD，∠ABC＝∠ABD C

B

AE

D

问题：你还能得到哪些结论？你能证明它吗？

自主探究

合作交流

引导学生利用课余时间多思考，敢于质疑、敢于发表自己的想法、敢于创新，养成认真勤奋，独立思考，合作交流的学习习惯。发展勇于质疑，严谨求实的科学态度。

七

反思评价，自我检测

1如图1：∠B=∠D=90°,BC=CD, ∠1=40°，

则∠2=（ ）

A.40° B.50° C.60° D.75°

1.

学生下课 图1 图2 利用102.如图2：点D,A,E在直线l上，AB=AC,BD分钟做⊥l于点D,CE⊥l于点E,且BD=AE. 若完；

BD=3，CE=5，则DE= . 2.

组长收，3.如下图，在△ABC中，已知D是BC中点，交给老师DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE=DF. 批改

求证：AB=AC

A

及时反馈课堂效果、评价学生、因材施教。

五、教学反思与评价

EBFDC新课标指出：教师是学生实践活动的组织者、引导者与合作者。学生是学习的主体，是学习的主动参与和知识的建构者。教师引导学生经历探索、发现、猜想、作图、观察、证明等数学活动过程，培养学生尊重科学、尊重事实、严谨细致的科学态度，发展空间

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观念、推理能力和动手能力，自主探究、合作交流和分析归纳证明能力，以及有条理的表达能力。而本课的教学设计正力图体现这一点。教学中设计了使学生经历定理获得的过程：在图形中抽取信息—归纳概括—提出猜想—作图验证—理论证明等活动，有效地促进了学生合情推理到演绎推理的发展。同时借助合作交流，既丰富了学生的活动经验，又提高了学生的合作交流的能力，取得了较好的学习效果。

教学流程设计合理，流畅。老师巧妙地搭建了一个认知的平台，利用学生感兴趣的实例将学生引入数学课堂，教师抓住学生的心理特征，激励学生大胆想象回答问题，从而得到“奖赏”.随着学生自己质疑、猜想、作图、证明，让学生主动发现事物的本质，揭示数学的奥秘，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生受益匪浅. 此外，由于借助多媒体手段，大大提高了教学效率，增加了课堂容量。如果不具备这样的条件，可能需要适当减少某些教学环节，或者将个别教学环节（内容）延伸到课堂之外。