一元一次不等式与一次函数图象的关系教学设计(教案)

2.5一元一次不等式与一次函数（一）

一、备课标： （一）内容标准：

初步体会不等式、方程、函数的内在联系与区别，并能运用他们之间的联系解决实际问题. （二）核心概念、数学思想、方法：

初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。函数、方程、不等式，都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之间的内在联系，从整体上认识不等式，感受三者的作用，体会解决问题方法与策略的多样性，从不同角度思考解决问题的方法，函数中的问题可转化为不等式问题来解决，不等式问题也可转化为函数问题来解决，渗透转化思想和数形结合思想，优化方法解决问题。十大核心概念在本节课中突出培养的是模型思想，应用意识，几何直观。

二、备重点、难点：

（一）教材分析：本节课是八年级下册第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》第五节“一元一次不等式与一次函数”，属于“数与代数”领域中的“不等式与不等式组”。

不等式是现实世界中不等关系的一中数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础，本章在学习了一元一次方程、二元一次方程和一次函数的基础上，开始研究简单的不等关系。本节的重点是研究一元一次不等式与一次函数的联系，发展学生对数学的综合认识，体会不等式、方程、函数间的联系，并运用这种联系解决一些简单的实际问题，发展学生的应用意识。通过函数图像找到对应方程的解，对应不等式的解集，这对学生来说不存在很大困难，这部分内容最大的难点在于学生能否站在一定的高度上认识一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的内在联系，从整体上认识问题的本质。

（二）重点、难点分析：

本节课通过具体问题让学生初步体会一元一次方程、一次函数、和一元一次不等式这些模型之间的不同作用与内在联系。

重点：1. 会用一次函数图像求一元一次不等式的解集. 2. 一元一次不等式、一元一次方程与一次函数之间的内在联系

3. 体会模型转化的过程，建立合理的数学模型，优化方法解决问题。

难点：感受一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的联系。

三、备学情：

（一）学习条件和起点能力分析：

1.学习条件分析：

（1）必要条件：学生对一元一次不等式、一元一次方程与一次函数有了较为完整的认识，他们有足够的知识储备和认知能力来探讨这些模型之间的关系。

（2）支持性条件：学生初步体会了方程、不等式、函数的模型思想，数形结合思想，具备了整体认知和分析转化的能力. 2.起点能力分析

学生已经可以运用一元一次方程、一次函数、和一元一次不等式的方法解决问题，已经初步体会三种模型思想的不同应用。

（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：本节课通过对具体问题的探究与交流，多数学生能够找到解决问题的某种方法，能够发现一元一次方程、一次函数、和一元一次不等式有联系；但是，还不能主动寻找解决问题的其他方法，感受从不同角度思考解决问题的方法，同时，大部分学生不能用函数的观点看一元一次方程与一元一次不等式。

针对这一问题，采取策略是在教学中设置贴近学生生活的实例，从放手让学生研究、理解函数图像与x轴交点的意义入手，不断生成对x轴上方部分，x轴下方部分意义的认识，巩固了这部分的理解之后，再进一步讨论图像与直线y=1相交的问题，帮助学生找到问题的突破口，增进学生对一元一次方程、一次函数、和一元一次不等式三者关系的理解，逐步渗透用函数的观点看一元一次方程与一元一次不等式。

四．教学目标：

1．通过观察图像，求方程的解和不等式的解集，从中体会一元一次方程、一次函数、和一元一次不等式的内在联系。

2．能用画函数图像的方法解释方程的解和不等式的解集，培养学生用函数的观点看方程与不等式。

3．在数学活动中，感知不等式、方程、函数的不同作用与内在联系。

4．从不同角度寻求解决问题的方法，尝试优化方法解决问题。

5．在独立思考的基础上，敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。

五．教学过程：

（一）构建动场：

1．

写出一个一元一次方程

，

并求出它的解。

2．

写出一个一元一次不等式

，

并求出它的解集。

3．

写出一个一次函数

，

并画出它的图象。

设计目的：进一步加深对概念的理解，加强与旧知识的联系，体现自主学习的意识，为本节内容学习作好准备。

（二） 自主学习

1. 请同学们观察函数y=2x-5图象，回答下列问题：y M O A x B N ①

直线MN上的点满足什么关系？

②

直线MN被x轴分成了射线_____ 、射线_____ 和点________。你能说出这三部分上点的特征吗？（提示：说出点的横坐标、纵坐标的值或范围，并用数学符号表示）

③

线段AB上的点的特征是_______________________.

④

这些点与学过的哪些知识有联系？

设计目的：我没有采用实际情景模式，选择了学生熟悉的函数模型；一方面可以加深对函数特征和平面内点的含义的理解，注重了数学符号语言的训练；另一方面，通过熟悉的材料和几何画板的展示，激发学生的学习兴趣，顺利进入本节的内容。

2. 根据图象填空 ① x______时，2x-5=0? 根据那部分图象得解？

② x______时，2x-5>0? 根据那部分图象得解？

③ x______时，2x-5<0? 根据那部分图象得解？

④ x______时，2x-5>3? 根据那部分图象得解？

请同学们计算上述方程、不等式，检验用图象法所得结果是否正确。

3. 思考下列问题

y=-5，可以用点_____表示，可以表示的方程为__________________；此时x的值为________。

y<-5，可以用射线_____表示，可以表示的不等式为__________________；此时x的值为________。

-5

设计目的：让学生经历用数形结合法求解方程和不等式的过程，体会三者之间的关系。

（三）交流探究

活动三：进一步结合y=—2x－5探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。

当x取哪些值时，y＞0? 当x取哪些值时，y＜0?你是怎样求解的？

学生先独立思考3分钟，独立尝试解决问题，继而讨论交流，交流不同的方法2分钟，展示、评价和补充2分钟。

设计意图：经历从一次函数到一元一次不等式的变化过程。通过具体问题让学生初步感受可以运用不等式帮助研究函数问题，体会一次函数与一元一次不等式相互渗透、相互作用，并尝试从不同角度思考解决问题的方法。

一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间的关系是什么？

具体过程为：

（四）综合建模

通过上述问题的研究，方程、函数、不等式三者之间关系为: 从图象上看，一次函数用

表示，一元一次不等式

表示，一元一次方程___________表示；说明方程、不等式可以看成是函数图象上的一部分。（即整体与部分的关系）。另一方面，从我们的探讨可以看出：通过观察函数图象可以求解方程和不等式，反过来，利用方程和不等式也可以解决函数问题，说明它们之间是相互作用，相互渗透。

设计目的：增强学生用数学语言表达自己思想的意识，体会三者之间的联系和不同作用。我设计成填空形式的目的是：引导学生有条理的总结三者之间的关系，降低了难度，突破了难点。

（五）巩固练习

2、

阅读下面的材料,完成后面的问题。

兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m。

①

何时弟弟跑在哥哥前面？

②

何时哥哥跑在弟弟前面？

③

谁先跑过20m？谁先跑过100m? ④

你是怎样求解的？与同伴交流。

设计目的：改变了教材提问方式，使解答问题的方法变得更加灵活多样，鼓励学生从不同角度思考解决问题。

（六）

达标测评

1．

已知一次函数y=﹣5x-3,当x______时，y>2. 2．

当x_______时，一次函数y=3x+2的值为负数。（在横线上填一个你认为正确的数即可）

3．

一次函数y1=2x+1,y2=-x+4,若y1>y2,则x的取值范围是___ _____.

4．如图（1）是关于y=kx+b（k≠0）的图像，则不等式kx+b≤0的解集为________ y x o -1 图（1）

（七）作业布置：

A组：课本51页习题2.6第1题

B组：课本51页习题2.6第2、3题

选作：元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：

纸环数x（个）

1 2 36 3 53 4 70 ……

……

2

彩纸链长度y（cm）

19 （1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？

y(cm)

90 80

70 60

50 40

30 20

10

Ｏ

1 2 3 4 5 6 x7 （个）