多边形的外角和第二课时 公开课

多边形内角和与外角和（基础）知识讲解

魏小强

【学习目标】

1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式；

3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】

知识点一、多边形的概念

1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．

2．相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：

凹多边形

凸多边形

要点诠释：

(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为n(n3)；

2(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．

知识点二、多边形内角和定理

n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

要点诠释：

(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(n2)180°；

n知识点三、多边形的外角和

多边形的外角和为360°．

要点诠释：

(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；

(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360°；

n

(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．

【典型例题】

类型一、多边形的概念

1．（2015•重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（

）条对角线．

A．27 B．35 C．40 【答案】B．

【解析】

解：当n=10时，

==35，

D．44 即凸十边形的对角线有35条．

【总结升华】本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．

举一反三：

【变式】过正十二边形的一个顶点有 条对角线，一个正十二边形共有 条对角线

【答案】9，54。

类型二、多边形内角和定理

2.证明：

n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

【思路点拨】先写出已知、求证，再画图，然后证明．

【答案与解析】

已知：n边形A1A2……An，

求证：∠A1+∠A2+……+∠An=180°，

证法一：如图(1)所示，在n边形内任取一点O，连O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，n个三角形内角和为n·180°，减去以O为公共顶点的n个角的和2×180°(即一个周角)得n边形内角和为n·180°-2×180°-(n-2)·180°．

证法二：如图(2)所示，过顶点A1作对角线，把n边形分成了(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰是多边形的内角和，即(n-2)·180°．

方法三：如图(3)所示，在多边形边上任取一点P，连这点与各顶点的线段把n边形分成了(n-1)个三角形，n边形内角和为这(n-1)个三角形内角和减去在点P处的一个平角，即(n-1)·180°-180°＝(n-2)·180°．

【总结升华】证明多边形内角和定理，关键是构造三角形，利用三角形的内角和定理进行证明．

举一反三：

【高清课堂：多边形及其内角和 2、多边形的内角和---练习】

【变式】练习：求下列图中的x的值.

【答案】

1x2xx14090360x65

2x150120903180x603.

(宁波市)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是

(

)

A．4

B．5

C．6

D．7 【

【总结升华】①已知边数，求内角和，是求代数武(n-2)×180°的值；②已知内角和求边数，可先设出边数，根据内角和列出方程求解．

【变式】（2015•重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（

）

【小结与作业】