一元一次不等式与一次函数的综合应用第一课时导学案

《一次函数与一元一次不等式》教学设计

教学目标：

1．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题；

2．学习用函数的观点看待解一元一次方程和一元一次不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想；

3．经历一元一次方程、一元一次不等式与函数关系问题的探究过程学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想．

教学重点：

理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题。

教学难点：

学习用函数的观点看待解一元一次方程和一元一次不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。

教学过程：

一、情境导入

(1)解方程2x＋20＝0；

(2)当自变量x为何值时，函数y＝2x＋20的值为0? 解：(1)2x＋20＝0，

2x＝－20，

x＝－10；

(2)当y＝0时，即

2x＋20＝0，

2x＝－20，

x＝－10. 从“函数值”角度看两个问题实际上是同一个问题．

二、合作探究

探究点一：一次函数与一元一次方程

直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解是x

＝________．

解析：∵直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝2.故答案为2. 方法总结：直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便．

探究点二：一次函数与一元一次不等式

【类型一】

利用一次函数的图象解一元一次不等式

已知一次函数的图象过点A(1，4)、B(－1，0)，求该函数的解析式并画出它的图象，利用图象求：

(1)当x为何值时，y＞0，y＜0；

(2)当－3＜x＜0时，y的取值范围；

(3)当－2≤y≤2时，x的取值范围．

解析：首先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后在直角坐标系中描出A(1，4)、B(－1，0)两点，过这两点画直线，再结合图象解答各问题．

k＋b＝4，k＝2，解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，代入(1，4)、(－1，0)得解得－k＋b＝0，b＝2.所以y＝2x＋2.一次函数y＝2x＋2的图象如图所示．由图可得

(1)当x＞－1时，y＞0；当x＜－1时，y＜0；

(2)当－3＜x＜0时，－4＜y＜2；

(3)当－2≤y≤2时，－2≤x≤0.

方法总结：从图象上看，kx＋b＞0的解集是直线y＝kx＋b(k≠0)位于x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围；kx＋b＜0的解集是直线y＝kx＋b(k≠0)位于x轴下方的部分所对应的自变量x的取值范围．

【类型二】

一次函数与一元一次不等式的实际应用

某商场计划投入一笔资金采购一批畅销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获得15%，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可

获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？

解析：由于题设中商场投资金额是未知的，不能直接比较，应根据投资情况列函数解析式，分类进行比较，再做出判断．

解：设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元，在月末出售，可获利y2元．则y1＝15%x＋10%(x＋15%x)＝0.265x，y2＝0.3x－700. 令y＝y1－y2，则y＝0.265x－(0.3x－700)＝－0.035x＋700. 当y＝0时，x＝20000. 由－0.035＜0，可知y随x的增大而减小，故当x＜20000时，y＞0，即y1＞y2，即采用月初出售获利较多；当x＝20000时，y＝0.即y1＝y2，两种方法获利一样；当x＞20000时，y＜0，即y1＜y2，即采用到月末出售获利较多．

综上所述，商场的赢利情况与投资总额有关．当投资总额小于20000元时，月初出售获利较大；当投资总额等于20000元时，月初、月末出售的赢利情况相同；当投资总额大于20000元时，月末出售获利较大．

方法总结：这种关于一次函数的最优法讨论，首先要找出这两种方法所表示的关系式，再令它们相等，得到临界点，最后根据临界点进行分类讨论．

三、板书设计

函数的值为0时，求相对应的自变量的与一元一值，从图象上看，这相当于已知直线y＝次方程、ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标.

一元一次解一元一次不等式可以看作：当一次函数不等式的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.一次函数解一元一次方程可以转化为：当某个一次教学反思：

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上，教师应帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．在对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式进行整合的教学时，利用学生已掌握的知识，设计有层次、有关联的问题，不断深入，力求从题目所提供的图形及已知条件中提取相关信息，结合函数图象的几何意义运用数形结合.