利用完全平方差公式进行因式分解教案教学设计导入整理

4.3.1 公式法（第一部分）

●教学目标

（一）教学知识点

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；

2.使学生掌握用平方差公式分解因式. 3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式. （二）能力训练要求

1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力. 2.训练学生对平方差公式的运用能力. （三）情感与价值观要求

在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法. ●教学重点

让学生掌握运用平方差公式分解因式. ●教学难点

将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力. ●教学方法

引导自学法

●教具准备

投影片两张

第一张（记作§4.3.1 A）

第二张（记作§4.3.1 B）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.

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如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法. Ⅱ.新课讲解

［师］1.请看乘法公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？

［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解. ［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解

［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点. ［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差. ［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积. 如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）. 9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2

=（3 m +2n）（3 m －2n）

3.例题讲解

［例1］把下列各式分解因式：

（1）25－16x2; （2）9a2－12b. 4解：（1）25－16x2=52－（4x）2

=（5+4x）（5－4x）;

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（2）9a2－=（3a+121 b=（3a）2－（b）2

4211b）（3a－b）. 22［例2］把下列各式分解因式: （1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x. 解：（1）9（m +n）2－（m－n）2

=［3（m +n）］2－（m－n）2

=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］

=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）

=（4 m +2n）（2 m +4n）

=4（2 m +n）（m +2n）

（2）2x3－8x=2x（x2－4）

=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 补充例题

投影片（§4.3.1 A）

判断下列分解因式是否正确. （1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）. ［生］解：（1）不正确. 本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解. （2）不正确.

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错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）. 应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）. Ⅲ.课堂练习

（一）随堂练习

1.判断正误

解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（×）

（√）

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2

=（ab）2－m 2

=（ab+ m）（ab－m）; （2）（m－a）2－（n+b）2

（×）

（×）

=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］

=（m－a+n+b）（m－a－n－b）; （3）x2－（a+b－c）2

=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］

=（x+a+b－c）（x－a－b+c）; （4）－16x4+81y4

=（9y2）2－（4x2）2

=（9y2+4x2）（9y2－4x2）

=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）

3.解：S剩余=a2－4b2. 当a=3.6,b=0.8时，

S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）

答：剩余部分的面积为10.4 cm2. （二）补充练习

投影片（§4.3.1 B）

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把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2－49（x－y）2; （2）（x－1）+b2（1－x）; （3）（x2+x+1）2－1. 解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2

=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2

=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］

=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）

=（13x－y）（13y－x）; （2）（x－1）+b2（1－x）

=（x－1）－b2（x－1）

=（x－1）（1－b2）

=（x－1）（1+b）（1－b）; （3）（x2+x+1）2－1 =（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）

=（x2+x+2）（x2+x）

=x（x+1）（x2+x+2）

Ⅳ.课时小结

我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行. 第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止. Ⅴ.课后作业

习题4.4 1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）; （2）36－x2=（6+x）（6－x）; （3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）; （4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）; （5）0.25q2－121p2

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=（0.5q+11p）（0.5q－11p）; （6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）; （7）9a2p2－b2q2

=（3ap+bq）（3ap－bq）; （8）49277a－x2y2=（a+xy）（ a－xy）; 4222.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）; （2）49（a－b）2－16（a+b）2

=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2

=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］

=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）

=（11a－3b）（3a－11b）; （3）（2x+y）2－（x+2y）2

=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］

=（3x+3y）（x－y）

=3（x+y）（x－y）; （4）（x2+y2）－x2y2

=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）; （5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）

=3a（x+y2）（x－y2）

（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）

=（p2+1）（p+1）（p－1）. 3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）

=π（R+r）（R－r）

当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，

S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）

答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2. Ⅵ.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式

解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc

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=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc =abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc =a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2

=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］

=（b+c）［a2+bc+ab+ac］

=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］

=（b+c）（a+b）（a+c）

●板书设计

§4.3.1 公式法（一）

一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式. 2.公式讲解

3.例题讲解

补充例题

二、课堂练习

1.随堂练习

2.补充练习

三、课时小结

四、课后作业

●备课资料

参考练习

把下列各式分解因式：

（1）49x2－121y2; （2）－25a2+16b2; （3）144a2b2－0.81c2; （4）－36x2+492y; 64（5）（a－b）2－1; （6）9x2－（2y+z）2; （7）（2m－n）2－（m－2n）2; （8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.

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解：（1）49x2－121y2

=（7x+11y）（7x－11y）; （2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2

=（4b+5a）（4b－5a）; （3）144a2b2－0.81c2

=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）; （4）－36x2+4927y=（y）2－（6x）2

64877=（y+6x）（y－6x）; 88（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）; （6）9x2－（2y+z）2

=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］

=（3x+2y+z）（3x－2y－z）; （7）（2m－n）2－（m－2n）2

=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］

=（3 m－3n）（m +n）

=3（m－n）（m +n）

（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2

=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2

=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］

=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）

=（17a－18b）（11a－24b）

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