日常生活中的概率问题特级教师教学实录

用频率估计概率（第一课时）

一、

教材分析

这一章的主要内容是通过实验方法确定某一随机事件的概率,特别是理论上无法求得的，或理论上可以求得但超出学生现阶段的认知水平的随机事的概率。这一节的数学思想是：通过大量实验，用某一随机事件出现的频率估计其理论概率。本节课中，最主要的教法是动手实验，理解“实验次数很大时，频率稳定于理论概率”这一结论，初步形成以实验方法估计随机事件概率的意识，进而解决实际问题。

本节课的内容：在一次抛掷硬币时，学生已有的经验是两种情况，但连续多次抛掷，“正面向上”的频率是否还是0.5呢？课堂中在小组多次“投掷硬币正面向上”的动手活动基础上，引进历史上许多著名实验的结果，向学生提供尽可能多的间接经验，使学生得到“频率趋向于稳定值0.5”，进而获得“投掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5”的实验经验。

二、

教学目标

1.

通过抛硬币试验理解当试验次数较大时，随机事件的实验频率逐渐稳定到的常数可以估计为该事件发生的理论概率。

2.

理解频率与概率的内在联系和区别，让学生感受用样本估计总体的统计思想和概率思想。

3.

通过猜想、试验、观察等活动，发展合情推理能力，经过小组内、外部交流探讨，发展语言表达能力。

三、

教学重难点

重点：通过活动，理解频率与概率之间的联系与区别，知道当实验次数较大时，频率稳定于概率。

难点：辩证地理解频率与概率的关系，能用频率估计概率解决问题。

四、

教法与学法

学生已经会用列举法或画树状图法计算等可能性随机事件的概率，但有一些事件的概率无法用理论计算来解决，就只能通过实验，用频率估算概率。在估算过程中，会出现误差，这是无法避免的（但试验次数越大，误差就会越小）。学生通过观察、统计、归纳、逐步丰富对随机事件规律性的体验，慢慢理解概率的内涵，它是理论上的数值，是针对大量重复实验而言的，与实际生活是有差异的。

五、

教学准备 （相关视频和课件）

六、

教学设计 教学环节

一、播放一小段ＮＢＡ比赛视频引出问题

1.这是某篮球运动员在最近的比赛中罚球投篮的结果如下：

投篮次数n 进球次数m 进球频率m/n 教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

1、这里有四名球星（姚明、科比、詹姆斯、库里）的比赛视频，由于时间关系，只能观看其中的一段，你们怎样选择？ 2、提出问题，引导学生思考解决，从1、举手示意（老师统计出学生选择各球星的人数）

，由人1、从学生感兴趣的明星引出话题，吸引学生的情

8 6

10 12 9 8 9 7 16 10 12 7 境引

入 你能求出他投篮一次进球的概率吗？是否能用列举法求出，为什么？

注意力，为而引入新课。 数决定。 课堂提供生讲解：没法用列举法求出概2、思考问动的素材； 率，因为投篮次数不确定，题，尝试解2、提出问每次进球的可能性也不相决，分析不题，激发学同，怎么求概率呢？ 能用列举法生思考、探3、当实验可能的结果是有的原因，只求新知的欲限个，且各种结果发生的可能另找办望。

能性相等时才能用列举法法。

（树状图法）。

自主探究

二、利用频率估计概率

（活动一）学生分组实验

把全班分成10个小组，每组一名学生投掷硬币，一人计数，另一名同学

（1）每组连续投掷50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数，填写下表

1、分组实1、问：抛掷一枚硬币，“正面朝上”的可能性有多大？验，做好统计，计算频1、通过试验、分析、思考、发现频率与概率之间的内在联系，实验中果真如此吗？ 率。 2、对2、老师指导学生认真实验，比各组计算做记录，其余学观察试验、协助记录；

仔细填写表格，计算频率。 的频率，绘

制出频率折初步感知线图。 概率

3、学生讨

组别

投掷次数

正面向上频数

正面向上频率

组投次数

正面向上频数

正面向上频率

论：为什么会出现不同的频率（每组的实验都带有偶然性和不确定性）？

别

掷1 2 3 4 5 50 50 50 50 50

6 7 8 9 50 50 50 50

10 50

(2)各组计算“正面向上”的频率，汇报实验结果。

由于试验次数较少，带有偶然性和不确定性，所以有些组的试验获得的“正面向上”的频率与先前的猜想有出入。

（3）在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因。使学生意识到随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们进一步探究（解决的办法是增加实验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作）。

（4）把各组测得的数据进行累加，计算出频率。

（5）这是历史上曾做过的抛掷硬币试验，结果如下表：

试验者

投掷次“正面向数（n）

上”频数（m）

棣莫弗

2048 布丰

费勒

4040 10000 1061 2048 4979 6019 12012 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （m/n）

2、随着实验次数的增加，频率3、比较各组的频率，你会什么发现？各组的频率为什么会不同？它们趋向于哪个数？与大家的猜想数字与差异吗？是不是我们的猜想出了问题，还是实验4、当实验次数较大时，频率会稳定于某个常数，我们把这个数看作是这一事件的概率。

会稳定于4、结合实验，得出求概率的另一方法：当实验实数较大频率估计事件理论概率。

常数0.5，再加以试验认证，使学生深刻理解在相同条件下，大量重复试验，随机事件发生的频率有规律性，体会概率的本质内涵。

自主探究

“正面向上”的出了问题？ 时，用实验皮尔逊

12000 皮尔逊

24000

=p。

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某一个常数p，那么事件A发生的概率P（A）教学环节

活动二

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

1、某出版社对其发行的杂志的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：

被调查人数n 满意人996 1496 1996 2496 29学生独立思

老师巡视，指导学生完成。

考，有问题举手示意。

讲练结合，逐步提高。

1000 1500 2000 2500 30巩固练习

数m 满意频率m/n （1）计算表中的各个频率；

（2）

读者对该杂志满意的概率P（A）约是多少？

2、王大爷想了解自己鱼塘中的鱼的条数和总重量，于是他第一次捞出100条，将每条

鱼做上记号放入水中，当它们完全混合鱼群后，又捞出200条鱼，发现带有记号的鱼有20条，且称得这些鱼总重量为416千克，问王大爷鱼塘里大概有多少条鱼，这些鱼有多少千克？

活动三、

问题1：对一个随机事件A，用频率估计的概率P(A)可以小于0吗？可能大于1吗？

1、引导学生，随机事件A的发生是随机的，不是确定性事件。 2、不一定。概率50%只是理论上的可能性，并不是说两次试验中，一定有一次“正面向上”发生，可能两次都是“正面向上”，也可能两次都是“正面向下”，自然100次的实验，并不能保证一定有50次“正面向上”。3、降雨率再大，也是一个随机事件，不是必然事件。因为预报的降水概率是根据大量记录统计得出的，符合大多数同等气象条件下的实际情况，但可能发生某些例外情况。

1、学生讨论：降雨是一个随机事件，90%的降雨概率，只是说降雨的可能性比较大，但并不是说今天一定会下雨。

通过对“抛掷硬币”、“降水率”知识的讲解，让学生明白概率只是大量重复实验时，事件发生的理论数据，在实际中，可能受种种因素的影响，试验结果与理论不符，从而理解频率与概率的联系与区别。

议一议

问题2、通过刚才的实验，抛掷硬币时“正面向上”的概率是0.5，那么连续抛掷100次，结果一定是50次“正面向上”吗？

问题3、天气预报说：某天降下雨概率为90%，而这一天并没有降水，这件事奇怪么？怎样理解？

教学环节

总结提高

作业布置

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

方法总 教师总结知识点及注意事项：1、利用频率估计概率，建立在大量重复试验的基础上；2、利用频率估计概率，得到的概率是近似值。

教师讲评，归纳强调学生简述本节所学，谈与感受

方法，适时进行情感教育。

自己的收获结，明确列举法（树状图法）与用频率估计概率的差异。

练习巩固，提炼方法，渗透情感教育，树立科学严谨的态度。

感知数学的1、教材 第144页

第1、第2题；

2、课外活动：用试验完成π的估计（详见课本149页）

教师提出要求，强调方法。

实用性和数学学习方法，试验验证法

板书设计

：

一、情境引入

二、自主探究

用频率估计概率

（二）利用频率估计概率的应用

四、总结提高

活动2 三、巩固练习

五、布置作业

（一）利用频率估

活动3 计概率

1

活动

教

学

反

思：

本课时的分组活动（抛硬币）安排了全体同学（共10组）共同参与试验，一同经历相关数据的整理、统计、分析。在教师的引领，感受随机事件的规律性的探索过程，获得对频率、概率的深刻认识，领悟频率的稳定性，学会用样本估计总体的统计思想。在实践中，培养了学生一丝不苟、严谨求学的科学精神，以及同学之间相互配合、相互沟通的能力，潜移默化地发展其统计意识，养成从统计角度考虑实际问题、解决实际问题的习惯。