8.1 二元一次方程组 教案2

8.1 二元一次方程组

教学任务分析

知识技能

教

学

目

标

深刻理解方程组解的意义，并会利用解的概念解决问题．

在解决问题的过程中，体会方程是刻画现实世界的一个比较有效的模型，进而感受方程思想．

能够判断一个方程组是否是二元一次方程组；

能够利用二元一次方程组解的概念解决相关问题．

数学思考

解决问题

情感态度

培养学生探究问题的兴趣，调动学习数学的积极性．

重点

对二元一次方程组解的意义的理解和运用．

难点

对二元一次方程组解的概念的理解和转化能力．

教学流程安排

活动流程图

活动1

鸡兔同笼问题．

活动2

体验二元一次方程组的优点．

活动3 巩固练习．

活动4

解决问题

小结与作业

活动内容和目的

创设情境、主体探究，引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念．

应用提高、拓展创新，引导学生进一步对二元一次方程（组）的知识进行探究，培养学生应用知识的能力以及创新能力．

复习巩固、归纳总结．

教学过程设计

一、

创设情境、主体探究，引导学生讨论二元一次方程、二元一次方程组和它的解等概念

活动1 问题：(投影) 一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各多少只？

教师提出：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使每一名同学感兴趣．那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？

先让学生思考一下，自己做出解答，教师巡视．最后，在学生动手动脑的基础上，教师引导给出各种解法．

解法一：在分析时，可提出如下问题：

1．50只动物都是鸡，对吗？

(不对，因为50只鸡有100只脚，脚数少了．)

2．50只动物都是兔子对吗？

(不对，因为50只兔子共有200只脚，脚数多了．)

3．一半是鸡，一半是兔子对吗？

(不对，因为25只鸡，25只兔共有150只脚，多10只脚．)

怎么办？(在学生思考后，教师指出：我们可采取逐步调整，验算的方法来加以解决．)

4．若增加一只鸡，减少一只兔，那么动物总只数，脚数分别怎样变化？

(当增加一只鸡，减少一只兔时，动物的总只数不变，脚数比原来少两只．)

5．现在你是否知道有几只鸡、几只兔？

(若学生回答还是感到困难，教师应引导学生根据一半是鸡，一半是兔时多10只脚，做出5次如问题4所述的方法进行调整，即增加5只鸡，减少5只兔，则多出的10只脚就没有了，故答案是30只鸡、20只兔．)

此时，教师指出：这个问题是解决了，但它在很大程度上依赖于数字50和140比较小，比较简单，若它们相当大且又很复杂，那么像上述方法这样一次次的试算就很麻烦了．然后提出问题：是否有其他方法来解决这个问题呢？(若学生在思考后，还很茫然，则教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解．由一名学生板演，其余学生自行完成)

解法二：设有x只鸡，则有(50-x)只兔．根据题意，得2x＋4(50-x)=140．

(解方程略)

追问：对于上面的问题用一元一次方程可解，是否还有其他方法可解？(若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程．然后请一名学生板演解所列的方程．)

解法三：设有x只鸡，y只兔，依题意得

x＋y=50，

2x+4y=140．

针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

1．结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？

2．为什么叫二元一次方程呢？

3．什么样的方程叫二元一次方程呢？

结合学生的回答，教师板书二元一次方程的定义：

含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程．

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫二元一次方程的解．

进而归纳二元一次方程组的定义以及二元一次方程组的解的定义．

两个二元一次方程和在一起，就组成了二元一次方程组．

从解法一，我们还知道，x=30，y=20，使方程组中每一个方程成立．所以我们把

x30xy50叫做二元一次方程组的解．

y202x4y140一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．

活动2 问题

将上述问题的三种解法进行优劣对比，你有哪些想法呢？

(若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳如下：当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时，就可以借助代数运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，进一步体会二元一次方程的优点．) 活动3 巩固练习（教材）

此活动的设计意图是让学生进一步巩固对二元一次方程（组）的认识，加深方程意识．

二、应用提高、拓展创新，引导学生进一步对二元一次方程（组）的知识进行探究，培养学生的应用知识的能力以及创新能力

活动４

解决问题．

问题1 现有一些边长相等的正三角形、正方形瓷砖，用这两种瓷砖围绕一点拼地板，有几种拼法？谈谈你的看法．

学生活动设计：

小组讨论，分组探索，然后每组派一人进行交流．学生根据思考、讨论可以发现，围绕一点拼地板，必须满足在这个点周围的正多边形的各个内角的度数和是360°，于是可以设围绕一点的正三角形有x个、正方形有y个，得到二元一次方程60x＋90y＝360，即2x＋3y＝12，进一步探索这个二元一次方程的解（正整数解），经过讨论可以得到这个二元一次方程的正整数解是x3，即围绕一点用正三角形、正方形拼地板只有一种情况：用3个正y2三角形、2个正方形

教师活动设计：

参与学生的讨论，在学生找不到等量关系（这个点周围的正多边形的各个内角的度数和是360°）时，进行适当启发和引导，在学生交流时，可能会出现“试出来”的情况，此时可以让学生讨论如何用数学的知识进行解释．

〔解答〕设围绕一点有x个正三角形，y个正方形，则

60x＋90y＝360，

即：2x＋3y＝12．

这个二元一次方程的正整数解只有x3，

y2围绕一点只能用3个正三角形、2个正方形拼地板．

x4问题2 写出一个二元一次方程组使它的解是

y1学生活动设计：

学生分组讨论进行探索，充分发挥学生的主体性，利用学生的智慧编出各种各样的二元

一次方程，然后进行交流．

教师活动设计：

给予学生充分的思考问题的时间和空间，这样才能充分展示学生的创新能力．

三、归纳小结、布置作业

小结：

让学生回答以下问题：

1．本节课学习了哪些内容？

2．什么叫二元一次方程？

3．什么叫二元一次方程组？

4．什么叫二元一次方程组的解？

作业：

习题

8.1