8.2 消元——二元一次方程组的解法教学评价实录

8.2

消元（一）——代入消元法

教学设计

三维目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组. 2.通过代入消元，体会二元一次方程组向一元一次方程的转化. 3.通过探索，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学的化归思想. 教学重点

1.会用代入法解二元一次方程组. 2.了解“消元”的思想是化“二元”为“一元”. 3.利用二元一次方程组解应用题. 教学难点

1.理解二元一次方程组消元的思想方法. 2.会寻找实际问题中的等量关系，并列二元一次方程组求解. 教学过程

导入新课

师：请同学们回忆上节课我们讨论的问题. 篮球联赛

大家得到两种方程（组）. 设此篮球队胜x场，负y场. 方法一：2x+(22-x)=40; 方法一得到的方程是我们学过的一元一次方程，大家很容易解得x=18，所以该篮球队胜18场，负22-18=4 师：你会解由方法二得到的方程组吗？

生：会.利用方法一中负的场数是22-x其实就是y=22-x，将2x+y=40中y用22-x代替，就是方法一的方程，于是可得x=18，再将x=18代入x+y=22得y=4.

1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.

你能区分这些方程吗？5x+3y=75（二元一次方程）；3x+1=8x（一元一次方程）；+y=2(一元一次方程）；2xy=9（二元一次方程）。

对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：

①等号两边的代数式是整式；

②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；

③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.

（2）二元一次方程的解

使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.

对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：

①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；

②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；

③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.

你能试着解方程3x－y=6吗？

2. 二元一次方程组

（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

对二元一次方程组的理解应注意：

①方程组各方程中，相同的字母必须代表

同一数量，否则不能将两个方程合在一起.

②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解. 3. 代入消元法

（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.

（2）代入法解二元一次方程组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；

②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；

③解这个一元一次方程，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）. 4. 加减消元法

（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

（2）加减法解二元一次方程组的步骤

①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；

③解这个一元一次方程，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）. 编辑本段三、重点难点

本节重点内容是二元一次方程组的概念以及如何用代入法和加减法解二元一次方程组，难点是根据方程的具体形式选择合适的解法。

典型例题

例1.下列各方程中，哪个是二元一次方程？

（1）8x－y=y；（2）xy=3；（3）2x－y=9；（4）8x-3=2.

分析：此题判断的根据是二元一次方程的定义. 由于方程（2）中含未知数的项xy的次数是2，而不是1，所以xy=3不是二元一次方程；2x－y=9是二元一次方程；又因为方程（4）中的不是整式，所以=2也不是二元一次方程.

解：方程8x－y=y，2x－y=9是二元一次方程；xy=3，=2不是二元一次方程.

评析：判定某个方程是不是二元一次方程，可先把它化成一般形式，再根据定义进行判断.

例2.已知-1是方程组的解，求m+n的值.

分析：因为是方程组的解，所以同时满足方程①和方程②，将分别代入方程①和方程②，可得由③和④可求出m、n的值.

解：因为是方程组的解，所以将其代入原方程组中的两个方程仍成立，即解得所以m+n=－1+0=－1.

评析：应该仔细体会“已知方程组的解是……”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义.

例3.写出二元一次方程4x+y=20的所有正整数解.

分析：为了求解方便，先将原方程变形为y=20－4x，由于题中所要求的解限定于“正整数解”，所以x和y的值都必须是正整数.

解：将原方程变形，得y=20－4x，因为x、y均为正整数，所以x只能取小于5的正整数.

当x=1时，y=16；当x=2时，y=12；当x=3时，y=8；当x=4时，y=4.

即4x+y=20的所有正整数解是：

，，，.

评析：对“所有正整数解”的含义的理解要注意两点：一要正

确，二要不重不漏. “正确”的标准是两个未知数的值都必须是正整数，且适合此方程.

例4.已知5︱x+y－3︱+（x－2y）=0，求x和y的值.

分析：根据绝对值和平方的意义可知，5︱x+y－3︱≥0，（x－2y）≥0，由已知条件5︱x+y－3︱+（x－2y）=0可得即从而可求出x和y的值.

解：由题意得即解得.

评析：非负值相加为零，有且只有它们同时为零.

例5.用代入法解方程组：

分析：选择其中一个方程，将其变形成y=ax+b或x=ay+b的形式，代入另一个方程求解. 方程①中x、y系数相对较小，考虑到x=3－y，而y=，显然在下面计算中x=3－y代入方程②计算简捷.

解：由①得：x=3－y③

把③代入②得：8（3－y）+3y+1=0

解得：y=125

将y=125代入③，得：x=－47

所以这个方程组的解为

评析：用代入法解方程组时，（1）选择变形的方程要尽可能较简单，表示的代数式也应尽可能简捷. （2）要对下面的计算进行预见、估计、以选择较好的方法.

例6.用加减消元法解方程组

分析：题中x、y系数不相同，也不是互为相反数；x的系数为4和6，y的系数为3和－4，它们的最小公倍数均为12，都可以变为12或－12，选择消去x，还是消去y，其难易程度相当.

解：①×3得：12x+9y=27 ③

②×2得：12x－8y=10 ④

③－④得：17y=17，解得y=1

把y=1代入①得：x=

所以原方程组的解为

评析：此题中在选择消去x，还是消去y，关键是：（1）看系数是否有倍数关系，如一个为2x，一个为6x，可把含2x的方程乘以3；（2）在没有倍数、系数的条件下，看x、y系数的最小公倍数哪一个较小，通常消最小公倍数较小的未知数.