复习题板书设计及设计说明

《专题复习：利用旋转解决一类图形关系》教学设计

一、教材的地位与作用

图形的旋转是继平移、轴对称之后的又一种图形基本变换，是义务教育阶段数学课程标准中图形变换的一个重要组成部分，属全等变换，初三年又学了位似变换，属相似变换。数学教材中刚学旋转变换时，是从学生实际接触、观察到的一些现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，再用理论检验实践，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中具有旋转特点的事物，进而探索其性质，培养学生思维能力、树立运动变化观点的良好素材。同时“图形的旋转”是一个重要的基础知识，隐含着重要的变换思想。在后续的学习中，学生又会慢慢体会到旋转更是一种解题方法，是研究图形之间的位置关系、数量关系的一种有力工具，为以后高中的数学学习做好准备。在初中总复习时需要老师引导学生进行归纳建构，让学生对旋转变换的认识从感性的、片面的上升到理性的、全面的、系统的深刻认识，这是复习课的重点，也是复习课的难点。

二．学情分析

初中的学生已学了平移、轴对称、旋转这几种图形全等变换，学了位似变换这种相似变换，有了一定的变换思想。学生们已经有一定的观察、抽象和分析能力，他们能由简单的物体运动中抽象出几何图形的变换，但思维的严谨性、抽象性仍相对薄弱。对图形变换本身的性质比较熟悉，对利用图形变换来研究图形之间的关系比较薄弱，不系统。

三、教学目标

知识目标

（1）复习旋转的有关概念、旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角；复习旋转后图形上的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度，但图形的形状和大小都没有变化；

（2）探究如何利用旋转来解决线段、角等图形之间的位置关系和数量关系，体会到旋转更是一种解题方法。

能力目标

通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生的动手能力、观察能力、探究问题的能力以及与人合

作交流的能力。经历探索旋转变换把原本毫不相关的基本图形联系起来，体会旋转变换对研究图形之间的关系的作用。

情感目标

经历对旋转变换的观察、讨论、实践操作，使学生充分感知数学美，培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感；通过小组合作交流活动，培养学生合作学习的意识和研究探索的精神。

四、重点与难点

利用旋转把线段、角等图形集中起来，综合利用旋转的性质来解决图形之间的关系

五、教法与学法

按照学生认知规律，遵循以“学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，采用以引导学生观察思考为主的教学方法。

根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“观察——思考——交流——归纳——引导——解决”的实践探索中，自主参与解题方法的产生、发展、形成与应用的过程。通过学生的自主活动、主动探索、合作交流等活动来构建与此相关的解题经验，使学生掌握解题思路，从而达到举一反三的效果。

六．教具准备

多媒体课件

七．教学过程

（一）复习旋转的性质

1、初中阶段我们学了哪些图形的基本变换？

2、平面内的图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度，有什么性质吗？

3、旋转的性质为什么可以帮助我们解题？

【设计意图】：引导学生回忆、思考初中阶段学过的基本变换，用自己的语言来描述旋转变换的特征，重温旋转的本质是绕着某一点旋转一定的角度，重温旋转的基本性质。同时抛出问题：旋转的性质为什么可以帮助我们解题？这个问题是基于学生的认知的最近发展区提出来的问题，学生经过以前的学习和现在的回顾，对旋转变换的性质已比较熟悉，但对于如何利用旋转解决图形之间的关系的认识是片面的，不系统的，茫然的。从这个最近发展区出发，让学生思考如何利用旋转的本质来探究图形之间的关系，是学生“跳一跳够得着”的问

题，从揭示本节课的研究课题-----利用图形的旋转解决图形之间的关系，

（二）探究学习：

1、例题：（1）如图1，若P是等边三角形ABC内的一点，PA=2，PB=23，PC=4，

求∠APB的度数。

引导学生分析：

如图2，把ΔACP绕着点A逆时针旋转60°，则AC与AB重合，旋转后得到三角形ABP′

PBPC4，PAPA,PAP60

APP是等边三角形,APP60

'

PP′=PA=2，在ΔBPP′中，PB23，PBPP'PB∴ΔBPP′是直角三角形，∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=150°

图1 我们还能求出图形中其它的角度或长度吗？

∠APC的度数可以求吗？

C、P、P′在同一直线上吗？

可以求出ΔABC的边长吗？

引导学生分析：

222PP1，得∠PP′B=60

如图2，在RTΔBPP′中，cos∠PP′B=BP2∴APB120，APC120

∴APC+APP=180，C、P、P′在同一直线上。

∵BPP90

∴CPB90

∴PBPCBC

得到：ΔABC的边长可求。

222图2 （2）反思：三角形中要利用旋转来解题一般需要什么条件？

引导学生得出：一般来说要有一组邻边相等，但也会遇到邻边不相等的。

【设计意图】：设计的例1是学生似曾相识的问题，以前学生都曾做过教材中的习题“若P是等边三角形ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数”，例1故意只改变了数字，以防止学生不动脑直接把以前做过的内容直接背出来写出答案，但又不得不回忆以前的

解题思路，思考与这题存在的异同点（条件有什么不同？结论会不同吗？解题方法一样还是类似？），培养了学生的解题思维能力。引导学生解决完第一个问题后，学生以为大功告成了，老师却趁热打铁追问：我们还能求出图形中其它的角度或长度吗？

这个问题是以前大部分同学做完该类型题时从没想过的问题，既然老师这样问了，说明可能是可以求出图形中其它的角度或长度的，从而产生认知冲突，引发探究的欲望。这样追问还可使同学体会到原来数学题还是可以这样研究的，做数学题不能追求数量，深入探究才是提高数学核心素养的根本途径。引导学生突破难点求出ΔABC的边长后，老师又引导学生反思：三角形中要利用旋转来解题一般需要什么条件？使学生对如何利用图形的旋转解决图形之间的关系有了一个相对深刻的认知，从以前的模糊认识中变得清晰起来。

2、你来试一试：

把等边三角形改成等腰直角三角形，情况会怎样呢？你来试一试吧！

（1）如图3，在ΔAB中，∠ACB=90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，PA=3,PB=1,PC=2

求∠BPC的度数。

引导学生分析：

如图4，把ΔBCP绕C顺时针旋转90°,则BC与AC重合,得ΔACP′

∴P′A=PB=1,P′C=PC=2,∠PCP′=90°,∴∠PP′C=45°,

图3 PPCP22,

又AP3,PA2PP2AP2

∴ΔP′PA是直角三角形,∠PP′A=90°

∴∠BPC=∠AP′C=∠PP′C+∠PP′A=135°

回想上题的探究过程，我们还能求出什么结论？

P′、P、B在同一条直线上吗？能求出ΔABC三边的长吗？

图4 引导学生模仿例一的解题方法得到结论：P′、P、B在同一条直线上，可求出ΔABC三边的长。

（2）如图5，若P是AB上任意一点，你能求出AP、BP、CP三者之間的数量关系吗？

如图6，引导学生得出：

AP2BP22CP2

【设计意图】：本节是一节初三总复图5 图6 习的复习课，图形的旋转是图形变换中相对抽象的内容，复习时不能满足于重温旋转变换的性质、旋转变换性质的一般应用，以及零散的利用旋转变换解决图形之间的关系的几道数学题，而应该引导学生总结归纳提升，并得到一般结论，教给学生解题思维方法，培养学生的数学核心素养，这才是老师的教育教学目的。老师在例1中已引导学生经历了一次利用旋转变换解决图形之间的关系的完整过程，得到一般性结论：借助三角形中邻边相等的条件，可利用旋转变换把一些看似不相关的线段、角集中到同一个三角形中，解决图形之间的数量关系和位置关系。

在这个基础上，学生对如何利用图形的旋转解决图形之间的关系有了一个相对深刻的认知，很有必要让学生独立试一试，练习一题，以达到巩固和加深认识的作用，但这题如果仅是把例1的数字换一换，学生单凭模仿就可完成，会让学生失去探究热情，必需有适当的变化和提升。本题把例1中等边三角形变成等腰三角形，第（1）题和例1的方法完全一样，达到巩固的目的，第（2）题

把点P移到AB边上，要求的是AP、BP、CP 的数量关系，这就进了一步，从上一小题的只求线段的长、只求角度提升到求线段之间的数量关系，用的方法还是利用旋转把相关线段转移到同一个三角形中，使学生进一步认识到旋转变换在解决图形关系中的作用。在感受旋转变换作为解题工具的过程中，老师借geogrbra软件，动态呈现图形旋转后形成新图形过程，既解决了图形间的关系，又感受到旋转变换过程中蕴涵的数学美。并鼓励学生可尝试把不同图形进行旋转，亦有异曲同工之妙，体验图形旋转作为解题工具的美妙，同时也激发了学生的创造性思维，发展了学生的数学核心素养。

3、勇攀高峰

（1）把三角形改成正方形，继续探究：

如图7，正方形ABCD边长是4，P、Q分别是AB、AD上的动点，ΔAPQ周长是8，

求∠PCQ的度数。

图7

引导学生分析：

如图8，ΔBCP绕C顺时针旋转90°,则BC与DC重合,得ΔDCP′

∴P′D=PB,P′C=PC,∠PCP′=90°,∴P′Q=P′D+DQ=PB+DQ

∵正方形ABCD边长是4,∴AB+AD=8,∵ΔAPQ周长是8,∴AP+AQ+PQ=8, ∴PQ=PB+DQ

图8 ∴P′Q=PQ,∵P′C=PC,CQ=CQ,∴ΔP′CQ≅PCQ

PCQ1PCP45

2

（2）反过来呢，结论还成立吗？

如图9，正方形ABCD边长是4，P、Q分别是AB、AD上的动点，∠PCQ=45°,ΔAPQ周长是定值吗

? 引导学生分析：

如图10，ΔBCP绕C顺时针旋转90°,则BC与DC重合,得ΔDCP′

∴DP′=PB,PC=P′C,∠PCQ=∠P′CQ=45°,又CQ=CQ,∴ΔPCQ≅ΔP′CQ

∴PQ=P′Q=DP′+QD=PB+QD

∴ΔAPQ周长=AP+PQ+AQ=AP+PB+QD+AQ=AB+AD=8

∴ΔAPQ的周长是定值

图9

（3）反思：四边形中要利用旋转来解题一般需要什么条件？

引导学生得出：

有一组邻边相等，对角互补！

图10

（4）增加条件

如图11，正方形ABCD边长是4，P、Q分别是AB、AD上的动点，∠PCQ=45°,若DQ=1，直线PQ交直线BC图11

于点E，试求CE的长。

引导学生分析：

如图12，ΔBCP绕C顺时针旋转90°,则BC与DC重合,得ΔDCP′

由上知ΔPCQ≌ΔP′CQ,得PQ=P′Q=P′D+DQ=PB+DQ

设PB=x,则AP=4−x,,PQ=x+1

由勾股定理得，AP2AQ2PQ2

（4x)232（x1)2

解得PBx∴AP图12 12

58AQAP,由已知易得ΔAPQ∽ΔBPE,得

5BEBP917解得BE，CE

22从刚才的探究过程，我们发现了一个重要结论：PQ=PB+QD 如图13，如果P、Q分别在BA、AD的延长线上，还有类似的结论吗？

图13 如图14，引导学生分析得出：

PQ=P'Q=P'D-DQ=PB-DQ

图14 （5）通过上面利用旋转对四边形的探究，你能得出一个一般性的结论并说明理由吗？

1BCD，CB=CD,还会有类似的结论吗？

21如图15，CB=CD，P、Q分别在边AB、AD上，∠PCQ=∠BCD，∠B+∠D=180°，2如果∠BCD≠90°，但保持PCQ试探究PQ与PB、DQ的数量关系。

图15

如图16，引导学生分析得出：

PQ=PB+QD

【设计意图】有了前面在三角形中利用旋转变换解决图形之间的图16 关系的基础，老师再顺势引导学生向新的高地出发，把三角形换成四边形，这时学生思维活跃，把本节课的探究活动推向高潮。本节从引导学生接触特殊例子并观察思考出发，从特殊到一般，再从一般到特殊，用一般性结论检验实践，循序渐进地引导学生利用旋转变换解决图形之间的关系的过程，进而深刻认识其本质，是培养学生思维能力、树立运动变化观点的过程。把三角形改成正方形后，先是已知ΔAPQ周长是正方形周长的一半，根据在三角形中的解题经验，利用旋转变换求得∠PCQ的度数是90°的一半，再是反过来，已知∠PCQ的度数是90°的一半，利用旋转变换求得ΔAPQ周长是正方形周长的一半，接着增加条件，在已知∠PCQ的度数是90°的一半的条件下，增加知道线段DQ的长，结合勾股定理、相似的判定和性质求得其它线段的长。再引导学生探究当∠PCQ的度数是90°的一半，但P、Q分别在BA、AD的延长线上时，结论会变吗？又是利用旋转变换解决了这个问题。最后引导学生探究把正1方形改成一般四边形，但保持PCQBCD，CB=CD,还会有类似的结论吗？引导学生通过2旋转变换得到了一般性结论。

（三）小结

通过这节课的学习，你有什么收获？

1、利用旋转的性质可帮我们解题。

2、旋转可把零散的点、线段、角等图形对象集中起来。

3、旋转可把不是三角形三边关系的三条线段变成同一个三角形的三条边。

4、三角形中要利用旋转来解题一般来说要有一组邻边相等，但也会遇到邻边不相等的

5、四边形中要利用旋转来解题一般需要有一组邻边相等，对角互补。

【设计意图】通过引导学生回顾本节课所学的收获并进行总结归纳，教师对学生是否完成对所学解题方法的建构进行评价，引导学生自主小结方法及结论，教师对学生的数学探索探究能力进行评价，让学生总结自己的收获、教师对学生个人的学习成果进行评价，对学生课堂上的情感与态度进行评价。

（四）作业(A为必做题，B、C为选做题）

A：如图17，P是正方形ABCD内一点，且满足PA:PD:PC=1:2:3，求∠APD的度数。

图17 B：如图18，在四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°

试求AD、BD、CD的数量关系。

图18

C：已知ΔABC是锐角三角形，试在三角形内找一点P，使

PA +PB+PC最小，并说明理由。

【设计意图】设计的作业习题分A、B、C三类，A为必做题，可检测学生对课堂所学的解题方法是否理解掌握，数学能力的提升和数学思想的把握是否到位。B、C为选做题，可拓展学生视野，是对课内解题的延续和补充，让学生进行课外探究，使学生进一步体会到图形变换在解题中作用。分层作业，让不同的人在数学上得到不同的发展。