1.1.1 命题优秀教学实录

第一课时

命题

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1.了解命题的概念，并会判断命题的真假．

2.理解命题的结构形式，能正确地找出命题的条件与结论，并能把命题写成“若p，则q”的形式．

1 新知识·预习探究

知识点一

命题和命题的真假

阅读教材P2，完成下列问题．

1．一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

说明理由．

(1)“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；

(2)“一个数不是正数就是负数”；

(3)“大角所对的边大于小角所对的边”；

(4)“x＋y为有理数，则x、y也都是有理数”；

(5)“作△ABC∽△A′B′C′”．

作出判断（1）不是命题．

(2)是假命题．数0既不是正数也不是负数．

(3)是假命题．没有考虑在同一个三角形中．

(4)是假命题．如x＝3，y＝－3. (5)祈使句．不是命题. 阅读教材P3中间两段，完成下列问题．

1．数学中，通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中“p”叫做命题的条件，“q”叫做命题的结论．

【练习2】

命题“相等的两个角的正切值相等”的条件是________；结论是________．

【解析】

命题改写成若p则q的形式为：若两个角相等，则这两个角的正切值相等．

【答案】

两个角相等，这两个角的正切值相等. 2 新视点·名师博客

1.判断一个语句是命题的两个条件

(1)陈述句：语句的格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．

(2)语句能否判断真假：语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，语句的真假是明确的．

两个条件同时成立才是命题．

2．命题真假判断的两个关注点

(1)要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理证明，在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．

(2)要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

3．命题的基本结构形式的两个关注点

(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐蔽，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需

多个条件．

(2)命题改写成“若p，则q”时，有的命题改写形式不惟一．

4．分析命题的条件和结论的方法

(1)若命题是“若p，则q”的形式，则可直接看出命题的条件和结论，p是条件，q是结论．

(2)若命题不是“若p，则q”的形式，则可先确定命题的条件和结论，将命题写成“若p，则q”的形式．改写时要注意：①命题中有大前提时，大前提不参与改写，它不是条件，也不是结论；②改写时有时需结合相关知识点进行扩写．

(3)借助于命题的结构形式有助于确定命题的条件和结论，理解命题及其有关变换．

考点一

命题的判断

例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由．

π(1)3是有理数；

(2)若a与b是无理数，则ab是无理数；

(3)3x2≤5；

(4)梯形是不是平面图形呢？

(5)x2－x＋7>0；

(6)8≥10. 分析：根据命题的概念，一是陈述句，二是可以判断真假．

π解：(1)“3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(2)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(3)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题。

(5)因为“x2－x＋7>0”中Δ＝1－28<0，所以“x2－x＋7>0”是真的，所以它是命题．

(6)“8≥10”是假的，所以是命题．

点评：一般地，命题是指可以判断真假的陈述句，而祈使句、疑问句一般认为不是命题．注意不要把假命题误以为不是命题．

变式探究1

下列语句是命题的有________．(填序号) ①垂直于同一平面的两个平面相互平行吗？

②作直线a平行于直线b. ③4是集合{1,2,3}中的元素．

④在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝b，则A＝B. ⑤函数y＝x和函数y＝x2是同一个函数．

⑥2x－4>1. ⑦3是无理数．

【解析】

①是疑问句，不是命题；②是祈使句，不是命题；③④⑤是命题；⑥不是命题，x的取值能否使不等式成立无法确定；⑦是命题．

【答案】

③④⑤⑦

考点二

命题真假的判断

例2

判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(3)垂直于同一个平面的两个平面互相平行．

分析：根据条件与结论间的因果关系进行判断，判断时要全面分析讨论．

解：(1)假命题．反例：1≠4或5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)真命题．因为m>1，∴Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．

(3)假命题．反例：有可能互相垂直，如墙角．

点评：判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可，而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证．在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．

变式探究2

判断下列语句是否为命题，并判断它们的真假：

①若a，b，c，d∈R，a＝c且b＝d，则a＋b＝c＋d. ②空集是任何集合的子集．

③函数y＝cosx的最小正周期是π吗？

④在等比数列{an}中，若公比q>1，则数列{an}是递增数列．

⑤求证：若x∈R，则x2－x＋1>0. 考点三

命题的结构

例3 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)周长相等的两个三角形面积相等；

(2)偶数能被2整除；

(3)奇函数的图象关于原点对称．

分析：要分清命题的条件和结论，并在写成“若p，则q”的形式时，尽量使句子通顺一些．

解：(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题．

(2)若一个数是偶数，则它能被2整除，真命题．

(3)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称，真命题．

点评：把一个命题写成“若p，则q”的形式可以帮助我们进一步分析命题的条件和结论，并且它是将来学习四种命题及其关系的基础．若命题中的条件或结论较简单，改写时可适当补充使其语句完整，从而使语义通顺．

变式探究3

将下列命题改为“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)当a>b时，ac>bc；

(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

(3)同弧所对的圆周角不相等．

4 新思维·随堂自测

1.下列语句中，不能成为命题的是(

) A．5>12

B．x>0 C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0 D．三角形的三条中线交于一点

2．下列说法正确的是(

) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

3．有下列命题：

①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

②若a>b，则a＋c>b＋c；

③矩形的对角线互相垂直．其中真命题有(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

4．给出下列命题：

①在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB；

②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；

③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；

ππ2x＋④若将函数y＝sin2x的图象向左平移4个单位，则得到函数y＝sin的图象．

4其中正确命题的序号是________．

5．命题“一元二次方程x2＋x＋4＝0有两个不相等的实数根”，条件p：________，结论q：________，是________命题(填真假)

5 辨错解·走出误区

易错点：混淆大前提与命题的条件而致误

【典例】

将下面的命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．

当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．

【错解】

“若p，则q”的形式为：若a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．

条件：a>0，结论：函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．

【错因分析】

在写“若p，则q”形式时，a>0不能作为条件，而仍为大前提．若一个命题有大前提，则在改写为“若p，则q”的形式时，仍作为大前提，不能写在条件中．

【正解】

当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax＋b的值也增加．

条件：x的值增加，结论：函数y＝ax＋b的值也增加．

【反思】

在含有大前提的命题改成“若p，则q”的形式时，要注意仍作为大前提，不能写在条件中.