1.2.1 充要条件优秀教案内容

“充要条件”教学设计

一、教材分析

(1)教材内容及地位与作用：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础，是今后的数学学习特别是数学推理的基础。本节内容在高考上也常有直接考查，去年甚至放在大题中与不等式一起进行综合考查。在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，为学生学习充要条件打下基础，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。显然，新教材的这种处理，充分说明充要条件这一内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“初步掌握充要条件的意义”

，更进一步的掌握还需要在后续的学习中强化巩固。

(2)重点，难点：从教材编写角度看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材中“充分条件”和“必要条件”是以如下方式分别定义的，“一般地，如果A成立，那么B成立，即A => B，这时我们就说条件A是B成立的充分条件，也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了。”“一般地，如果B成立，那么A成立，即B => A，或者，如果A不成立，那么B就不成立，这时我们就说，条件A是B成立的必要条件。也就是说，要使B成立，就必须A成立。因为‘B=>A’和它的逆命题‘AB’是等价的，所以，如果A不成立，那么B就一定不成立，也就是说，要使B成立，A就必须成立。”与旧教材大段枯燥难懂的表述相比，新教材的定义显得更简洁精炼，“一般地，如果已知p => q，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。”与定义表述的繁简成鲜明对照的是，新教材的例题、练习题、习题数均大幅增加，是旧教材的两倍。显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，因此淡化了对定义的纯文字叙述，而更注重学生从感性上去领悟，让学生在解题实践中加深理解。当然，一次性给出定义也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。因此把重点，难点定位为

教学重点：正确理解并阐明三个概念

教学难点：对“必要条件”的理解

二、教学目标

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定

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为“初步掌握充要条件”，这是比较切合教学实际的。由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一次到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。因此把教学目标定位为

（1）知识目标：正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念

（2）能力目标：掌握判断条件的充分性、必要性和充要性的方法；在师生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。

（3）感情目标：通过对一些成语、日常用语的讨论，激发学生热爱生活，奋发图强。

三、教学方法

(1)教法：采用：“过程教学法”，让学生参与和经历整堂课的思维过程。

(2)学法：采用“导学法”，学生在老师的引导下，积极参与，积极思考，发现规律，归纳总结规律。

四、教学过程

1、复习旧知，引入新课

1.1 什么叫命题？命题的一般形式是什么？

答：可以判断真假的语句叫做命题。命题一般有条件和结论，分别用p和q表示，这样命题的一般形式是：若p则q。

1.2 数学上有四种命题，它们有什么关系？

答：四种命题的相互关系如下图：

原命题

逆命题

互

逆

若p则q 若q则p

互

否

为

逆

互

互

否

否

逆

为

否

互

否命题

逆否命题

互

逆

若p则q

若q则p

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：

原命题为真，它的逆命题以及否命题都不一定为真，但它的逆否命题一定为真。

例1、探讨下列生活中名言名句，把它们改写成数学命题形式。并讨论命题的真假。

①水滴石穿 ②骄兵必败 ③有志者事竟成 ④名师出高徒

答：①若石块经水长期淋滴则石块会被滴穿孔；

②若士兵骄傲、自满、轻敌则在战斗中一定会失败；

③若一个人有志气，不怕困难则做什么事都会成功；

④若有著名的师傅培养则一定会培养出高水平的徒弟。

这些生活语言不可能像数学命题一样准确，因此同学们对这些命题的真假可以有

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不同的观点，只要你的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是要同学们能“学会数学地思维”

。但数学命题是对数学的判断，它的真假就应有个严格的定论。下面我们看命题的真假在数学上是怎样表示的。

2、真假命题的符号记法： 在数学上对命题真假的有如下符号记法：

(1)如果命题“若p则q”为真，也就是说如果p成立，那么经过一系列的推理一定能推出q成立，则记作p => q，念作p推出q。

(2)如果命题“若p则q”为假，也就是说如果p成立，但无论经过怎样的推理都不能推出q成立，则记作p ≠> q，念作p推不出q。

(3)如果命题“若p则q”为真，同时又“若q则p”也为真，也就是说如果p成立，那么经过一系列的推理一定能推出q成立；同时地如果q成立，那么经过一系列的推理一定能推出p成立，则记作p <=> q，念作p 、q互推，或p等价于q。

例2、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假。

①若xy，则x2y2。 ②若三角形的三边相等则三角形的三个角相等。

③若x是2 的倍数，则x是6 的倍数。 ④若a2b2，则ab。

注意：要分别指出各个题目的条件p和结论q各是什么。

答：① p => q，q ≠> p。 ② p => q，q => p。

③ p ≠> q，q => p。 ④ p ≠> q，q ≠> p。

一个命题为真，就是命题的条件能推出命题的结论，这说明命题的条件和结论之间有着一定的关系。那么这种既定的关系在数学上又如何称呼呢？有如下的定义：

3、充分、必要、充要条件的定义

3.1定义：

(1)如果已知p => q，则说p是q的充分条件；同时说q是p的必要条件。

可以这样理解：只要有条件p就能足够充分地推出结论p；或者说为使结论q成立，具备条件p就足够了，所以说条件p是q的充分条件。同时地由四种命题的关系有已知p => q即已知﹁

q => ﹁p，也就是说没有条件q就没有结论p，或者说条件q不成立，那么结论p就一定不成立。因此说是条件q是结论p成立所必需具备的；就说条件错误！链接无效。。这里同学们要注意打破“条件”与“结论”的“位置”不变的观念。在原命题中p是条件，q是结论，在逆命题中q是条件，p是结论，在否命题中﹁p是条件，﹁q是结论，而在逆否命题中﹁q是条件，﹁p是结论。

在定义(1)中仅说已知p => q，但p => q是否成立呢？对此有如下的定义。

(2)如果已知p => q且q => p即 p <=> q，则p是q的充分条件，同时p也是q的必要条件，即p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件。当然地q也是p的充要条件。即p、q互为充要条件。类似地还有如下定义

(3)如果已知p => q，且q ≠> p，

则说p是q的充分而不必要条件； q是p的必要而不充分条件。

(4)如果已知p ≠> q，且q => p，

则说p是q的必要而不充分条件；q是p的充分而不必要条件。

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(5)如果已知p ≠> q，且q ≠> p，则说p、q互为既不充分也不必要条件。

由这些定义可知：判别充分、必要、充要条件的步骤是：首先认清条件和结论。其次考察p => q和q => p的真假。其中要注意两点判别技巧：①可先简化命题。②否定一个命题只要举出一个反例即可。

3.2例题理解：

例3、指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在充分而不必要条件、必要而不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种)？

① p：(x2)(x3)0；q：x20。 ② p：同位角相等；q：两直线平行。③ p：x3；q：x29 ④p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。

解：① p ≠> q，且q => p，所以p是q的必要而不充分条件；

② p => q且q => p所以p是q的充要条件；

③ p => q，且q ≠> p所以p是q的充分而不必要条件；

④ p ≠> q，且q ≠> p所以p是q的既不充分也不必要条件。

3.3练习巩固：做课本第35、36页的练习。

3.4电路图模型理解：

也许同学们对充分、必要、充要这三个概念还是感到比较抽象。不过物理中的电路图大家还是比较熟悉，看见过，也能想得出具体形状的。下面请同学们以

p：“开关A闭合”为条件，q：“灯泡B亮”为结论。

分别画出：p是q的充要条件、p是q的充分而不必要条件、p是q的必要而不充分条件、p是q的既不充分也不必要条件的四种电路图。(提示：可能还要用到开头C)

4、小结作业

这堂课我们主要学习了充分、必要、充要条件这三个概念，它们的定义如下：

如果已知p => q，则说p是q的充分条件；同时说q是p的必要条件

如果既有p => q，又有q => p，即p <=> q，则说p是q的充要条件

如果已知p => q且q ≠> p，则说p是q的充分不必要条件。

如果已知p ≠> q且q => p，则说p是q的必要不充分条件。

可以这样记这些定义：“能推出”是“被推出”的充分条件，“被推出”是“能推出”必要条件；两者能互推的，就互为充要条件。

判别步骤：(1)认清条件和结论。(2)考察p => q和q => p的真假。

判别技巧：(1)可先简化命题。(2)否定一个命题只要举出一个反例即可。

作业：(1)习题1.8第2、3题共10小题中选做5小题。

(2)再举一些生活上的例子，说明充分、必要、充要条件。

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