2.3 抛物线（通用）第一课时教学实录

抛物线及其标准方程

(第一课时)

1 课题:

《抛物线及其标准方程》教案

授课教师：石屏县第一中学 李云松

一、

教材分析

1、

本节在教材中的地位和作用

抛物线是中学数学的重要内容，它最早见于初三数学，作为二次函数的图像而出现。高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最值等方面都有重要的作用。但二次函数不能替代对整个抛物线体系的研究，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要；另一方面能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面的学习奠定基础。因此本节在内容上起到一个承上启下的作用。

2、

教学目标 根据教学大纲的要求，教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：

知识目标：1、理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导。

2、明确抛物线标准方程中P的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题。

能力目标：1、通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在区别和联系。

2、熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生

分析、归纳的能力。

情感目标：引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，使学生体会数学的简捷美与和谐美。

3、教学重点与难点 根据以上教学内容及大纲要求，拟定教学重点及难点如下：

教学重点：抛物线的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点。

教学难点：抛物线概念的形成。通过条件e=1的画法设计，曲线方程与二次函数的比较突破难点。

二、

教法分析

为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，我采用了“启发诱导”式的教学模式，通过引导学生观察、分析和对比，让每个学生在动手、动口、动脑参与教学的过程中来建构自己的知识体系。同时借助于多媒体辅助教学，提高教学效果和质量。

2

三、

学法指导

本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，采用分组合作学习的方式，让学生经过探索、观察、对比分析、自已发现结论，并形成抛物线的概念，以培养学生的探索精神、归纳总结和自学能力，从而构建自己的知识体系。

四、

教学过程

本节课的教学实施过程分为两大部分：课外部分和课内部分

（0）课前准备，实验材料（课外）

（I）设置情景，导入新课（课内）

1、复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e的取值范围各是什么？

【设计意图】通过这个问题，达到如下两个目的：①明确离心率e的几何意义：到定点的距离与到定直线的距离之比。②由椭圆：0e1；双曲线：e1，自然引出下面问题。

2、当e=1时，它又是什么曲线呢？你能设计一种方案，画出一个这样的点吗？

【设计意图】将问题交给学生，充分发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位。激发了学生探究的欲望，同时，通过画图方案的设计，加深学生对条件e1的理解。

（II）引导探究，获得新知

1、探索研究

【学生活动设计】前后学生组成四人学习小组，共同探讨画图方案。

【教师活动】教师以平等的身份介入学生的讨论中，并且关注：

（1）

学生在知识认知与情感发展方面的疑惑，并及时引导鼓励；

（2）

关注每个人的活动情况，做到全员参与，并对有代表性的方案注意收集。

（3）

了解学生探究的进展，把握课堂节奏。

一段时间后，让同学们汇报自己的设计方案，并用实物投影仪展示自己所画的图形，师生共同就方案的可行性进行论证。

【说明】无论学生的设计结果怎样，都会强化对条件e=1的感受，本环节的目的就达到了。

同学们的设计让我们看到了这条曲线上的一个点，这条曲线是什么样子呢？下面我们向同学们介绍另一画法，看看这条曲线的庐山真面目。

教师用预先制作的教具向学生演示这种画法，给一定的时间让学生以四人小组为单位，合作完成曲线的作图，至此，本节课所要研究的对象已清晰的呈现在我们面前。

2、这条曲线是什么？我们以前见过吗?是双曲线的上支，还是椭圆的一部分呢？ 【设计意图】引导学生求该曲线的方程，复习求曲线方程的步骤，强化解析几何“用代数研究几何”的思想。

【学生活动设计】①请同学们增大点F到直尺L的距离，重复刚才的实验，比较一下，曲线有什么变化？再缩小这个距离试一试。②这说明了什么？

【设计意图】待学生实验有了初步结论后，可利用几何画板演示随着距离逐渐增大，曲线的开口由小变大的过程，设KFp，体会参数p的重要性。

3 PFjL

以下由学生自主建系，求出该曲线的方程。

【学生活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建系方案，一段时间后，各组交流，对方案的可行性进行验证。

大致有如下几种建系方案，本着自愿的原则，由各小组选择一种进行方程的推导。请三位同学上来板演。

①以K为原点，定直线L所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时可得曲线方程为：x22pyp2(p＞0) ②以F为原点，过F且平行于定直线L的直线为x轴，此时可得方程为：x22pyp2(p＞0) ③以线段KF的中点为原点，KF所在的直线为y轴，此时可得方程：方案1 x22py(p＞0 )

方案2 【探究结论】方案3所得的方程比较简洁，把它叫做该曲线的标准方程。再次明确参数P的几何意义。与椭圆、双曲线的标准方程相比，这种曲线并非椭圆、双曲线的一部份。那么它究竟是什么呢? 方案3 【探究结论】把方程x2py变形为y212x,此方程即为初2p中学过的二次函数yax2的形式，由此可以看出该曲线是二次函数的图像-----抛物线。（板书本节课的课题：抛物线及其标准方程。）

（至此，本节课的重点突出、难点突破，约需时20分钟）

【归纳总结】抛物线的定义：①要求学生用自己的语言描述什么样的曲线是抛物线。②规范学生的语言描述，提出抛物线定义的书面文字。

【定义】平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。

（III）深入探索，完善体系

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，试将你的练习本向右旋转90再观察，就可以得到教材上所讲授的抛物线的形式，请同学们自行推导一下其方程的形式，看是否和教材所述的一致。

【设计意图】通过观察，使学生总结出开口方向向右、向上两种情况及其对应的标准方程，用计算机出示下表：（表格的填写顺序设计如下）

①参数P的几何意义是什么？完成表格第三项、第一项。

4

②抛物线的开口方向还可能有几种情况？

③抛物线的标准方程还有y22pxp0和x22pyp0两种形式，它们分别代表哪种开口方向？为什么？完成表格第二、第四项。

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

【注意】把图形的位置特征和方程的形式结合起来记忆，通过四种标准方程对比，y22pxp0

pp

,0x

总结出：

22①方程的一次项决定焦点的位置。

②一次项系数的符号决定开口方向。

pp

,0x

22y22px（IV）指导应用，鼓励创新

例1、（1）已知抛物线的标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程

p0x2py2

p0x22py

p0

（2）已知抛物线的焦点坐标是F0,2，求它的标准方程。

pp0,2

y

2例2、已知抛物线焦点到准线的距离为2，

求它的标准方程。

【点拨】巩固四种方程的形式及曲线特征，熟悉相关公式。并请学生注意图形在pp

0,y

22解题过程中的作用，渗透数形结合的思想。

请同学们参照上例，自编几道题目，

作为本节课的练习。（教师巡视）

一段时间后，请一些同学将他们编写的题目写在黑板上。请另一些同学板演完成。师生共同评改。

易错题：求抛物线y4x2的焦点坐标和准线方程。

【设计意图】强化抛物线的标准方程与二次函数的区别，分清系数a与p的不同意义。

（至此本节课的主要任务完成，约需时15分钟）

（V）小结概括，深化认识

学生回答下列问题：①抛物线的定义是什么？说出P的几何意义。②抛物线的标准方程是什么？统一三种圆锥曲线的定义

（约需时5分钟）

布置作业：课本P119

1、

2、

4 五、

教学评价

在设计本节教学过程时，出于主体性教学和过程性教学的考虑，我选择了学生非常熟悉的二次函数作为新旧知识的联结点。先让学生自己动手用三角板、圆规采用几何画法，画出一条到定点F和定直线L距离相等的点，然后利用直尺——三角板的画法画出满足这样条件的点的曲线，之后建立坐标系求曲线方程，验证确实是抛物线。再通过学生自身的努力，从熟悉的二次函数的图象出发，顺利地得出抛物线标准方程的四种形式。

5

通过本节课的学习，学生对抛物线的有了更深的认识，对于解析几何用“代数方法研究几何问题”的基本思想有了进一步的强化，并会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程；反之根据抛物线的焦点坐标或者准线方程，也能求出抛物线的标准方程，这些为后面抛物线的简单几何性质的研究提供了基础，也为以后学习微积分做好了准备。

本节课我的设计理念遵循三条原则，以学生为主体，以合作探究为手段，以能力提高为目的。教学过程中充分关注学生能否积极主动的参与知识探索，能否应用适当的语言表达自己的思想，交流自己的学习体验。学生通过自主探究，合作交流，体味合作学习的快乐，体味冥思苦想后的豁然开朗，体味逻辑思维的严谨美。

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