1.1.3 四种命题间的相互关系特级教师教学实录

1.1.2

四种命题

1.1.3

四种命题间的相互关系

[学习目标]

1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.

知识点一

四种命题的概念

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题. (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题. 知识点二

四种命题的真假性的判断

原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.

题型一

四种命题的概念

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；

(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.

解

(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题. 否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题. 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题. (2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题. 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题. 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题. (3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题. 否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题. 逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题. (4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题. 逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题. 反思与感悟

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题. (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论. 跟踪训练1

判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. (1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；

(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点. 解

(1)该命题为真命题. 逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题. 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题. 逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题. (2)该命题为假命题. 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0，假命题. 否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无交点，假命题. 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0，假命题. 题型二

四种命题的关系

例2

下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题. 其中是真命题的是________. 答案

①②③

解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟

要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. 跟踪训练2

下列命题为真命题的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A.①②③④

B.①③④

C.②③④

D.①④

答案

B 解析

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.③原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为①③④，故选B. 题型三

等价命题的应用

例3

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假. 解

原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.

判断真假如下：

函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.

反思与感悟

因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法. 跟踪训练3

判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假. 解

方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4，∵m>0，∴Δ>0，

∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.

写出原命题的否命题(逆否命题)时出错

要写出一个命题的否命题，需既否定条件，又否定结论.对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误. 例4

写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题. 错解

原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y全不为0”；

原命题的逆否命题为：“若x，y全不为0，则x2＋y2≠0”.

正解

原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；

原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”.

易错警示

错误原因

错解主要是对原命题中的结论否定错纠错心得

在写命题的否命题(逆否命题)时，应注误，对“x，y全为0”的否定应为“x，意：一是分清已知命题的条件和结论；y不全为0”，而不是“x，y全不为0”.

二是掌握一些常用的词语的否定.

1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A.若a∉A，则b∉B

B.若a∈A，则b∉B

C.若b∈B，则a∉A

D.若b∉B，则a∉A

答案

B 解析

命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式.

2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是(

) A.若A∪B＝B，则A∩B＝A

B.若A∩B≠A，则A∪B≠B

C.若A∪B≠B，则A∩B≠A

D.若A∪B≠B，则A∩B＝A

答案

C 解析

注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.

3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”). 答案

若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线

假

4.给出以下命题：

①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________. 答案

③

解析

①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题. ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题. ③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真. 1π5.“若sin α＝，则α＝”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命26题(填“真”或“假”). π1答案

若α≠，则sin α≠

假

62π1解析

逆否命题是“若α≠，则sin α≠”是假命题. 62

1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.

一、选择题

1.若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是(

) A.若x≤y，则x2≤y2

B.若x>y，则x2

C.若x2≤y2，则x≤y

D.若x

答案

C 解析

由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题. 2.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

) A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

答案

B 解析

否命题是既否定条件又否定结论. 因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.

3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案

B 解析

原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题. 当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5. 故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题. 又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题. 4.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(

) A.能被3整除的整数，一定能被6整除

B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除

答案

B 解析

互为逆否命题的两个命题是等价的. 5.有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.真命题的个数

是(

) A.1

B.2

C.3

D.4 答案

B 解析

①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确. 6.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是(

) A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ

B.若m⊥α，β⊥α，则m∥β

C.若l⊥m，l⊥n，则m∥n

D.若l⊥α，m⊥α，则l∥m

答案

D 解析

当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；

当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；

当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D. 7.命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(

) A.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C.若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D.若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

答案

A 解析

先对命题取逆，然后取否可得“若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”，选A. 8.有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号为(

) A.①②

B.②③

C.①③

D.③④

答案

C 解析

命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题.

二、填空题

9.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________. 答案

若x，y不全为零，则xy≠0 解析

由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.

10.下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形. 其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号). 答案

②和③

①和③

①和②

11.命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个. 答案

2 解析

原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题. 三、解答题

12.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假. 解

方法一

(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可. 方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真. 方法二

(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真. 13.给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；

命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙有且只有一个是真命题. 分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围. 解

甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，

1即A＝{a|a>或a<－1}；

31乙为真时，2a2－a>1，即B＝{a|a>1或a<－}. 21(1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A，B的并集，这时实数a的取值范围是{a|a>或31a<－}. 21(2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，