3.1.3 导数的几何意义教学实录

导数的几何意义

教学目的

1理解导数的几何意义，会用导数的方法求切线的斜率和切线的方程

2理解切线和割线的内在联系

重点 导数的几何意义，会求切线方程

难点 切线和割线的内在联系

复习回顾

1平均变化率

x1，x2]的平均变化率为

f(x)

在区间上[一般的，函数

2割线的斜率

kyf(x2)f(x1)xx2x1yf(x2)f(x1)xx2x13导数的概念

f(x0)limf(x0x)f(x0)flimx0xx0x4求函数 在 处的导数的步骤

求平均变化率

取极限

新课

导数的几何意义

导数的几何意义

如图,曲线C是函数y=f(x)

的图象,P(x0,y0)是曲线C上的

任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)

为P邻近一点,PQ为C的割线, 割线PQ的斜率

请看当点Q沿着曲线逐渐向

点P接近时,割线PQ的变化

趋势是什么？

那么当Δx→0时,割线PQ的斜率就无限趋近于切线PT的斜率。

因此fx在xx0处的导数就是切线PT的斜率，即f(x0x)f(x0)yk切线f(x0)limlimx0xx0x

'这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

f(x0x)f(x0)解:klimx0x2(1x)1(11)limx0x22x(x)lim2.x0x因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

（1）切点P（x0,y0）

（2）斜率kf(x0)（3）点斜式yy0k(xx0)练习：求双曲线y11在点（2,）的切线方程x2'典例分析

例1、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。

hl0l1tot4t3t0t1t2l2解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线，

刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。

(1)

当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行

于x轴.

(2)

当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率

h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减.当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率

h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些

1.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改

变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个

常数，不是变数。

（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,

就是函数f(x)的导函数 。

3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数

在x=x0处的函数值，即 。这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

小结

1.求切线方程的步骤：

1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线

在点(x0,f(x0))的切线的斜率。

2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即

yf(x0)f(x0)(xx0).

无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求

函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导

数概念。