3.1.3 导数的几何意义公开课教案（教学设计）

第三章

导数及应用

§3.1.3导数的几何意义

【教学目标】理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程

【教学重点】导数的几何意义及曲线的切线方程

【教学难点】求曲线在某点处的切线方程

【新知梳理】

1．导数的几何意义

割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))Δy的一条割线，此割线的斜率是Δx＝

导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率

即

f(x0)lim2.导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)

是一个确定的数，x0f(x0x)f(x0)k

x1

那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

f(xx)f(x)

x0x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

即:

f(x)ylim3.函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f(x0)，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

【典例解析】

题型一

求切线方程

14例1:

（1）已知曲线y＝3x3＋3.，求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

（2）求曲线yx2过点（0，-1）的切线方程

变式迁移1

1.求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2

2

2.已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

题型二

求切点坐标

[例2] 在曲线y＝x上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.

[分析] 解此类题的步骤为：①先设切点坐标(x0，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；⑤由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标

32变式迁移2

直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x－x＋1相切．

2(1)求a的值；

(2)求切点的坐标．

2.已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ垂直的曲线y＝x2的切线方程

3

题型三

导数的综合应用

【例3】已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式

变式迁移3 （1）若点P是曲线f(x)＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．

x32（2）设点P是曲线y＝－x－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取3得最小值时的切线方程是__________________．

1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．

2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：

一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．

【巩固练习】

111．(2010·全国Ⅱ)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的22面积为18，则a等于

(

) A．64

B．32

C．16

D．8 2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为

(

) A．4x－y－3＝0

B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0

D．x＋4y＋3＝0 43．(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则αe＋1的取值范围是

(

) ππ，π π，3π

3π，π

0， A.

B.

C.

D.4422444.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．

4