3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案推荐

3.1.3．空间向量的数量积（1）

教学目标：

1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。

教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程

学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；

（二）新课讲解：

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；

若a,b

2．向量的模：

设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|；

3．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明AB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|．

2，则称a与b互相垂直，记作：ab；

e

B

ABA

C

1

4．空间向量数量积的性质：

（1）ae|a|cosa,e．

（2）abab0．

（3）|a|2aa．

5．空间向量数量积运算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．

（2）abba（交换律）．

（3）a(bc)abac（分配律）．

（三）例题分析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln

求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn，

∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

gnlmnlmg

2

ABACBDACABABBD

AB(ACABBD)ABDC0．

（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

同理：abbc，，

∴acbc，

2[来源学科网ZXXK]∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值。

解：∵BCACAB，

∴OABCOAACOAAB

O

|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

A

B

C

84cos13586cos12024162

∴cosOA,BCOABC24162322，

855|OA||BC|322．

5[来源:Z§xx§k.Com]所以，OA与BC的夹角的余弦值为说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，切记！五．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。

六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。

七．作业：课本第106页第3、4题

补充：

3

1．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，

试求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．

向量的数量积（2）一、教学目标：①向量的数量积运算

[来源:学科网]

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

二、教学重点：①向量的数量积运算

②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角

三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法

四、教学过程：

考点一：向量的数量积运算

（一）、知识要点：

1）定义：①

设=,则ab

（的范围为

）

[来源学科网]②设a(x1,y1)，b(x2,y2)则ab

。

注：①ab不能写成ab，或ab

②ab的结果为一个数值。

2）投影：b在a方向上的投影为

。

3）向量数量积运算律：

①abba

②(a)b(ab)a(b)

③(ab)cacbc

注：①没有结合律(ab)ca(bc)

二）例题讲练

1、下列命题：①若ab0，则a，b中至少一个为0②若a0且abac，则bc

③(ab)ca(bc)④(3a2b)(3a2b)9a4b

中正确有个数为

（

）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

2、已知ABC中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,则22BCCA=

。

4

3、若a，b，c满足abc0，且a3,b1c,，4则abbc=

。

4、已知ab2，且a与b的夹角为考点二：向量数量积性质应用

一）、知识要点：

，则ab在a上的投影为

。

3

①abab0（用于判定垂直问题）

②aa（用于求模运算问题）

③cosabab2（用于求角运算问题）

二）例题讲练

1、已知a2，b3，且a与b的夹角为何值时cd

2、已知a1，b1，3a2b3，则3ab

。

3、已知a和b是非零向量，且a=b=ab，求a与ab的夹角

4、已知a4，b2，且a和b不共线，求使ab与ab的夹角是锐角时的取值范围

巩固练习

，c3a2b，dmab，求当m为2，则（e1e2）(3e12e2)等于（

）

395A.-8

B.

C. 

D.8 222、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与2e2e1垂直的是（

）

31、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为

A. e1e2

B. e1e2

C. e1

D. e2

3、在ABC中，设ABa，BCb，CAc，若a(ab)0，则ABC（

）

(A)

直角三角形

(B)锐角三角形

(C)钝角三角形

(D)无法判定

4、已知a和b是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的

5

夹角。

5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：

为正三角形。

3.1.5空间向量运算的坐标表示

课题

向量的坐标

1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系

教学目的要求

2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示

1．投影与投影定理

25分钟

主要内容与时间分配

2．分向量与向量的坐标

30分钟

3．模与方向余弦的坐标表示

35分钟

1．投影定理

重点难点

2．分向量

3．方向余弦的坐标表示

教学方法和手段[来源学科网]

启发式教学法，使用电子教案

一、向量在轴上的投影

1．几个概念

(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则ABe

(2)

设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有ACABBC

(3)

两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OAa，OBb，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为(a,b)

'(4)

空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。

6

(5)

向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和'B'，那么轴u上的有向线段的值A'B'叫做向量AB在轴u上的投影，记做PrjuAB。

2．投影定理

性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：PrjuABABcos

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即

Prju(a1a2)Prja1Prja2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Prju(a)Prja

二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。

设a =M1M2是以M1(x1,y1,z1)为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向量，i、j、k分别表示

图7－5 沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：

M1M2(x2x1)i + (y2y1)j+(z2z1)k 或

a = ax

i + ayj + azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式。

有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为

a

＝

{ax，ay，az}。

上式叫做向量a的坐标表示式。

7

于是，起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为

M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}

特别地，点M(x,y,z)对于原点O的向径

OM{x,y,z}

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。

向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，

向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax

i 、

ayj 、

azk. 2．向量运算的坐标表示

则

(1)

加法：

ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k

◆

减法：

◆

乘数：

◆

或

设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}即aaxiayjazk，bbxibyjbzk

ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k

a(ax)i(ay)j(az)k

ab{axbx,ayby,azbz}

ab{axbx,ayby,azbz}

a{ax,ay,az}

◆

平行：若a≠0时，向量b//a相当于ba，即

{bx,by,bz}{ax,ay,az}

也相当于向量的对应坐标成比例即

bxbybz

axayaz三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设a{ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它

8

的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。

1．

模

222aaxayaz

图

7－6

2．

方向余弦

aMMcosacos12x222由性质1知ayM1M2cosacos，当aaxayaz0时，有

aM1M2cosacoszaaxcosx22aaxayaz2ayay

cos222aaxayazaazcosz222aaaaxyz◆

任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2◆

与非零向量a同方向的单位向量为：

cos21

a0aa1a{ax,ay,az}{cos,cos,cos}

3．

例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及与M1M2同向的单位向量。

解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}

M1M2(1)212(2)22

cos112，cos，cos

222

032，，

3430设a为与M1M2同向的单位向量，由于a{cos,cos,cos}

9

即得a0{112,,}

222

10