习题2.1特级教师教学实录

2015年圆锥曲线高考试题分析

简阳中学

赖斌

2015年的圆锥曲线试题，保持了几何与代数交会、基础与能力并重、传统与创新兼顾的命题特点，突出了运用坐标法研究图形几何性质的解析几何本色．基础题考核目标明确，立足于圆锥曲线标准方程和几何性质，考查解析几何的基本能力；创新题立意新颖别致，聚焦于轨迹、定值和最值等问题的动态变化探究，考查解析几何的核心素养．圆锥曲线试题文、理科难易有别，适度体现差距，加大区分功能，仍将是2016年高考的命题趋势．

从摆放位置上看，小题（选择题与填空题）大多放置在中间偏后的题序上，难度一般为中档题；解答题）多放置在解答题后三题之中，大题区分功能依旧十分突出. 从考查内容上看，大题除新课程全国Ⅰ卷理科第20题、福建卷文科第19题以抛物线为背景，浙江卷文科第19题用抛物线与圆交会，湖南卷文、理科第20题用抛物线与椭圆交会之外，其余各卷均依托于椭圆曲线，突出考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线

一、专题考点分析

（一）考点统计说明

圆锥曲线与方程是解析几何的核心知识，是每年高考的重点考查内容.统计表明，与2014年相比，2015年的考查特点体现在“五个三”上，即试题立意于稳、变、新的三个特点；考点分布于椭圆、双曲线和抛物线三类曲线上；考核要求定位于了解、理解和掌握三个层次上；数学思想方法立足于数形结合、特殊与一般、函数与方程三种主要思想方法上；能力要求突出在运算求解能力、逻辑思维能力和创新应用能力三项主旨能力上.尤其在直线与圆锥曲线的位置关系及其简单应用的交会点上的试题居多. 从题量分值上看，基本保持着一道小题和一道大题或两道小题和一道大题的布局，分值约在17～26分之间.从文、理科差异上看，文、理科完全相同的题不多，难易有别，一般是理科难度明显高于文科，并与椭圆的位置关系.小题通常是为了弥补大题未考的曲线类型，多数以双曲线或双曲线与抛物线的交会为主，主要考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线等几何性质. 从考点分布上看，注重考查基本概念、标准方程和几何性质，加大对数形结合、函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想方法的考查力度；既突出通性、通法，淡化特殊技巧，又注重解析几何的本质，提供灵活运用坐标法解题的空间. （二）小题考点分布解析

圆锥曲线的小题大致可分为基本型问题和交会型问题.基本型问题以考查双曲线的几

何性质为主，立足于双曲线的定义、标准方程和几何性质；交会型问题适度体现圆锥曲线之间的交会或圆锥曲线与相关知识的整合. 1．基本型问题

（1）双曲线的标准方程与渐近线结合.除陕西卷文科和浙江卷理科等小题以抛物线为背景之外，其他各卷基本都选用了双曲线，并侧重于用渐近线作为命题素材，其难度定位于中档偏易题. 例1（安徽卷·理4）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是（ ）

y2x2y2x22221

（B）y1

（C）x1

（D）y1

（A）x444426.例2（安徽卷·文6）下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是

y2x2y2x2221 （B）y1 （C）x1 （D）y21

（A）x442225x2y2例3（广东卷·理7）已知双曲线C：221的离心率e，且其右焦点F25,0，则双曲线4abx2y2x2y2x2y2x2y2C的方程为

A．1

B. 1

C. 1

D. 1

4316991634x2例5（北京卷·理10）已知双曲线2y21a0的一条渐近线为3xy0，则a

a

【评析】例题的设计都紧扣双曲线的“了解”层次考核要求，主要结合双曲线的渐近线从正反两个方面考查双曲线的标准方程和简单的几何性质．同时从数形结合和特殊与一般的角度，有效地检测了学生的推理与运算能力．

（2）双曲线的标准方程与离心率结合. 除福建卷文科和浙江卷文科等小题以椭圆为背景之外，其他各卷基本都选用了双曲线作为命题素材，并定位于中档偏难题. x2y2例8（湖南卷·文6）若双曲线221的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离ab心率为 A、5457

B、

C、

D、

4333例9（新课程全国Ⅱ卷·理11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为

（A）5 （B）2 （C）3 （D）2

例10（湖北卷·文9/理8）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ）

A．对任意的a,b，e1e2 B．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2

C．对任意的a,b，e1e2

D．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2

【评析】该组3道例题都是结合双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，考查双曲线的离心率．尽管试题的难易程度各不相同，但均要求学生会运用概念、坐标法和数形结合的思想方法解决离心率的问题．其中例10作为湖北卷文、理共用的选择题，要求学生能根据离心率的代数与几何意义，并利用图形的对称性，既可从动态变化的角度，将问题转化为双曲线的渐近线的倾斜角或斜率的变化规律，又可从代数运算的角度，结合真分数不等式的性质导出结论，对学生应用数形结合的思想和化归与转化的能力提出了较高的要求．此外，2015年还有一些圆锥曲线大题也涉及到求离心率问题，如安徽卷文科第20题等. 2.交会型问题

依托数学知识、思想方法和数学能力之间的交会命题，早已成为高考数学实现全面考核目标的必然选择．圆锥曲线恰好是体现这一命题思想的典型载体，往往使用“坐标方法一线穿珠，动态变化蕴含其中”的命题做法.这样做，一是自然地将三种圆锥曲线之间进行交会，立足于圆锥曲线内部知识考点的融合；二是恰当地用圆锥曲线与相关知识交会，侧重于整合与圆锥曲线相关的几何性质问题，凸显圆锥曲线、坐标方法和数形结合三位一体的命题理念，有效地考查解析几何的基本思想方法．

（1）圆锥曲线之间的交会.①抛物线与双曲线交会. x2y2例11（天津卷·理6）已知双曲线221a0,b0

的一条渐近线过点2,3

，且双曲线ab的一个焦点在抛物线y247x

的准线上，则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y21

（C）1

（B）1

（D）1

（A）282121283443②抛物线与椭圆交会. 例12（新课程全国Ⅰ卷·文5）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1，E的右焦点与2抛物线C:y28x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则AB （A）

3 （B）6 （C）9 （D）12

③椭圆与圆交会. x2y21的三个顶点，且圆心在x轴正半例13（新课程全国Ⅰ卷·理14）一个圆经过椭圆164轴上，则该圆的标准方程为 ④双曲线与圆交会. x2y2例14（天津卷·文5）已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的ab渐近线与圆(x-2)+y2=3相切,则双曲线的方程为（ ）

x2y2x2y2x2y222-y=1

(D) x-=1

-=1

(B) -=1

(C) (A) 339131392⑤抛物线与圆交会. 例15（四川卷·理10）设直线l与抛物线y24x相交于A,B两点，与圆x5y2r2r0相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是

（A）1，3 （B）1，4 （C）2，3 （D）2，4

【评析】这组交会型小题都是采用两种圆锥曲线（包括圆）交会组合的方式命题，意在照顾全卷之中圆锥曲线的考点分布，并在定位于基础知识与基本技能的层面上，有效地检测学生的化归与转化能力．

（2）圆锥曲线与相关知识的交会. ①圆锥曲线与平面向量交会. x2例17（新课程全国Ⅰ卷·理5）已知M(x0，y0)是双曲线C：y21

上的一点，F1、F2是22C上的两个焦点，若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是

(A)(－33，) 33

(B)(－3322222323，) (C)(，) (D)(，) 333366②圆锥曲线与面积问题交会. 例18（浙江卷·理5）设抛物线y24x的焦点为F，

不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，

其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，

则BCF与ACF的面积之比是（ ）

A. BF1AF1 B. BF1AF122 C. BF1AF1 D. BF1AF122 ③圆锥曲线与立体几何交会. 例19（浙江卷·文7）如图，斜线段与平面所成的角为60，为斜足，

平面上的动点满足30，则点的轨迹是（ ）

A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支

【评析】利用圆锥曲线与面积、最值、立体几何和平面向量等知识点交会命题，是近几年的惯用做法，这种结合自然、贴切，要求学生在知识交会之中，实现与圆锥曲线相关知识考点和思想方法的相互迁移．当然，部分圆锥曲线大题也采用了同样交会的手法.例如，湖南卷文科第20题是直线、抛物线、椭圆和平面向量的大杂烩，陕西卷理科第20题集直线、椭圆和圆于一体等.这些试题都充分展现了在知识网络交会处、思想方法的交叉区和能力层次的交织域内命题的意图，以达成综合考核几何素养的目标. 二、命题思路分析

圆锥曲线与方程一直是考查解析几何知识的重要载体，始终在解答题位置上占据着中间偏后的位置，不管命题者对其如何进行改编与设计，都始终扣住解析几何研究的两条主线：一是根据已知条件确定曲线方程；二是利用曲线方程研究曲线的几何性质.立足于基础考能力，借助几何直观进行直觉推理，利用待定系数法、直接法、定义法、相关点法等求解轨迹问题，运用数形结合的思想方法、合理简洁的算理和算法驾驭解析几何问题，是圆锥曲线试题常规的命题思路和不变的命题策略. 1.命题特点概述

从上述考点分析可以看出，2015年圆锥曲线的命题特点主要表现在以下几个方面. （1）依托定义与方程，考查几何本质. 对圆锥曲线的定义与方程的考查，注重检测基本概念的理解和掌握的程度；对不同曲线的几何性质又有不同的侧重考核要求.椭圆侧重于对称性、焦半径、离心率等；双曲线侧重于渐近线、离心率等；抛物线则更多地表现为对定义和直线与抛物线位置关系的考查. （2）依托位置关系，考查几何素养. 对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，突出相交、关注相切的有关问题，包括相交后的交点及弦长，相切的几何与代数特征.利用坐标方法将几何问题进行代数转换，利用函数与方程的思想化归求解，始终是解决直线与圆锥曲线问题的主要思想和方法.联立方程、判别式、整体代换、设而不求等基本技能，既是圆锥曲线重点考查的内容和方法，也是甄别

学生解析几何基本素养的有效检测方式. （3）依托知识交会，考查综合能力. 圆锥曲线试题易于通过位置关系实现内外交会，直线的斜率、圆的切线、焦点弦、中点弦等是展现内部交会的常用元素，轨迹问题、范围问题、面积问题、最值问题、定值问题、定点问题等是连接外部交会的主要素材，动静结合的探究式设问是展示甄别功能的命题手法，以实现与函数、方程、不等式等主干知识的自然交会，达成综合考查的目的. 2.大题命题意图诠释

2015年圆锥曲线大题的背景依然是椭圆占据着主流曲线，除新课程全国Ⅰ卷理科第20题是抛物线与直线交会、浙江卷文科第19题和福建卷文科第19题是抛物线与圆交会之外，其余各卷的大题都选择了用椭圆作为背景，并重点通过是否存在型、取值范围型、面积与最值型和定点与定值型等问题，突出考查解析几何的数学思想方法．

（1）是否存在问题———突出动态变化，考查探究能力. 以“是否存在……”的设问形式出现，一般只有存在或者不存在两种情况，是考查数学探究能力的一种常用命题方式.是否存在性问题，其思维方式往往是假设存在后，寻找符合条件的正确结论或者推出与条件相矛盾的结论，从而做出合理推断. 命题通过赋予试题动态变化，利用动静结合的方式探究问题的本质，使试题的几何特色更加鲜明，解法的选择余地更加灵活，对探究能力的考查更加直观，给予学生展现从特殊到一般、从静态到动态、从合情推理到理性探究更加广阔的思维空间．

（3）取值范围问题———突出参数变化，考查运算能力. 通过引入参数刻画圆锥曲线的几何特征，是解析几何命题的常用手法.命题的策略往往是用参数的变化引起相关几何量取值范围的变化.例如，直线的斜率、图形的面积和圆锥曲线的离心率等，都是构题的常用元素.同时确定相关变量的取值范围，又离不开函数与方程思想的应用，更是考查学生是否具备解析几何基本运算能力的有效途径．

例24（重庆卷）见点睛

【评析】此题以椭圆的定义、焦点三角形及基本量之间的关系为背景，立足于椭圆的标准方程以及简单几何性质的应用.第（1）小题以两个焦半径为已知元素，要求学生能直接应用椭圆的定义求解；第（2）小题的设计本质，相当于利用两个焦半径的比值之和的变化范围，去制约椭圆的离心率的取值范围，要求学生能灵活地运用椭圆的定义及勾股定理建立离心率与λ的关系式，从而将离心率e表示成为关于λ的函数，然后再将问题转化为求函数值域的问题，即为所求的取值范围.两道小题通过焦点三角形的动静结合衔接，将焦点弦长的比值作为参数过渡自然.形成解题思路不难，难在对学生合理地选择运算途径、化

繁为简的代换意识和综合应用函数思想方法等都提出了较高的要求. （4）定点定值问题———突出动静结合，考查推理能力. 定点与定值问题无疑是几何问题的核心要素，最能展现几何图形动中有静、静中有动和动静相宜的变化特征，命题通过直觉探究圆锥曲线的某些特殊性质，重点考查特殊与一般的思想方法和合情推理的能力．

例25（新课程全国Ⅱ卷·理20）已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若3能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．

【评析】此题以直线和椭圆的位置关系、弦的中点

问题和四边形的形状判断为背景，起点定位于两直线的斜率之积为定值，终点落脚到几何图形形状的判断，

起承转合之间都与定点和定值问题紧密相连.解决中点弦问题的点差法，探求斜率乘积是否为定值的特取法和判断形状的几何法等都渗透着合情推理的思想方法，对学生综合解决定点与定值问题的逻辑推理能力提出了较高的要求．

（5）轨迹方程问题———突出问题情境，考查应用能力. 有效地创设试题的问题情境，赋予经典数学内涵、高等数学背景和实际应用价值，是考查学生创新意识和应用能力的有效方式，也是近几年推崇的一种热点命题手法.此类试题要求学生先通过观察、实验、归纳、类比等方法获取信息，然后依托积累的解题经验解读信息，再综合应用相关数学思想方法去探究结论．

例26（湖北卷·22）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1:x2y0和l2:x2y0分别交于P,Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

y

NADOBN

D

M

O

x

M

【评析】此题第（1）小题的背景源于荷兰数学家舒腾的椭圆作图工具，这种画椭圆的工具以解析几何中典型的相关点轨迹问题为载体，既体现着椭圆的一种几何生成方式，又突出了曲线与方程中坐标转移的思想方法，主要考查求曲线方程的基本方法.尽管舒腾的这一工具并不能像用圆规画圆一样画出椭圆（点D与点O重合时，点M处的笔尖画出的可能是圆），但加上限制条件后，可以保证画出的轨迹一定是椭圆.同时考虑到文、理科对曲线与方程知识考点的差异，文科明确告知学生画出的是椭圆，只要求学生根据待定系数法得到所求的椭圆方程即可.第（2）小题是典型的面积最值问题，学生可先借助几何直观推测出取得最值的极端情形，再根据常规的坐标方法得出结论.主要考查坐标法、数形结合的思想和几何最值的求法.事实上，此题将数学史巧妙地嵌入试题的命题方式，背景深刻，内涵丰富，几何意义明显，运算量适中，可谓独树一帜.这种融入椭圆的几何画法，蕴含动态变化中的不变性，凸显解析几何的本质特征的命题方法，既将椭圆的方程与课堂实际教学联系起来，考查学生信息迁移和实际操作的能力，又为椭圆的实际教学提供了可供拓展延伸的素材. 通过上述分类解析不难看出，2015年高考的圆锥曲线大题，一般都停留在常规题型上，设计都有一个很明显的共同特征，即第（1）小题都是求满足题设条件的椭圆方程，在此基础上的第（2）小题或第（3）小题，基本都是以探究定点、定值、最值等问题为基本套路，只有少数试题在交会性、存在性和开放性的特点上富有创意，主要体现在动态探究型试题、信息迁移型试题和自然交会型试题的创新设计上，其立意新颖，构思精巧，设问开放，解法多样，成为2015年高考圆锥曲线试题中的亮点．例如，例26依托经典数学史料画椭圆，借助坐标转移法或待定系数法求方程，应用函数思想探究三角形的面积最值，成为2015年“圆锥曲线”问题中一道亮丽的风景线．

三、分析总结

解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，是数形结合的典范，其核心思想是坐标法的思想．因此，圆锥曲线命题，要始终坚持小题考基础、大题考能力的原则，立意的起点要立足基础知识，设问的方式要突出动态变化，解题的过程要体现数形结合，解题的

方法要凸显坐标思想.并依据学生的学情，适时、适度地从哲学的角度剖析变与不变、近似与精确、有限与无限等对立统一规律，提升学生的思维层次和综合素养.同时要通过习题课和复习教学，逐步提高学生利用极限思想分析、解决问题的能力，并让学生逐渐感受到极限既代表函数变化趋势的过程，又代表发展变化的结果，以感悟数学抽象的两重性和简约性，从而有助于学生认识数学概念形成过程中的多层次抽象和数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，增进学生对数学发展过程和内涵本质的了解，为迈入高等数学殿堂做好准备.