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人教版九年级上册数学第二十四章-圆-同步练习（含解析）

一、单选题

1.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（

）

A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心 B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心

C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心

2.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）

A. B. 1 C. 2 D. 2

3.给出下列说法：

①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；

②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；

③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；

④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．

其中正确的有

( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4.一个正方形的内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为（ ）

A. 1∶2∶ B. 1∶∶2∶4 ∶2 C. 1∶∶4 D. 5.已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定

6.已知⊙O的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在( )

A. 在⊙O内 B. 在⊙O上 C. 在⊙O外 D. 不能确定

7.如图，E是△ABC的内心，若∠BEC=130°，则∠A的度数是（

）

A. 60° B. 80° C. 50° D. 75°

8.边长为6的正三角形的外接圆的面积为（

）

A. 36π B. π C. 12π D. 16π

上，且∠BDC=30°，AB=2 ，∠BAD=105°，过点9.如图所示，在扇形BAD中，点C在

C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. π﹣2 B. π﹣1 C. 2π﹣2 D. 2π+1

10.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（

）

沿弦AC翻折交AB于点D，

A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°

二、填空题

11. 如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°

12.如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，且AD＝2，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，这时点D走过的路线长为________ ．

13.如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是

的中点，则∠DAC的度数是________．

14.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为________ ．

15.在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF=________度．

16.如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC=50°，则∠BDC的大小是

________．

17.如图，在△ABC中，OA=OB=6，∠O=120°，以点O为圆心的⊙O和底边AB相切于点C，则阴影部分的面积为________．

18.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________ ．

19.如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则弧BF的长为________．（结果保留π）

三、解答题

20.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．求证：CD是⊙O的切线.

21.如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上的点，以BC、AB为边作▱ABCD，⊙O交AD于点E，连结BE，点P为过点B的⊙O的切线上一点，连结PE，且满足∠PEA=∠ABE．

（1）求证：PB=PE；

（2）若sin∠P=，

求的值．

22.已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C不可能等于90°．

四、综合题

23.如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线．

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若OB=5，BC=18，求BE的长．

24.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC相交于点D，且CD=2，BC=4，

（1）求⊙O的半径；

（2）连接AD并延长，交BC于点E，取BE的中点F，连接DF，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由．

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【考点】三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD．

∵O是△ABC的外心，

∴OA=OB=OC，

∵四边形OCDE是正方形，

∴OA=OB=OE，

∴O是△ABE的外心，

∵OA=OE≠OD，

∴O不是△AED的外心. 综上分析可知：选项A、C、D中的距离都是错的，只有选项B的结论是正确的. 故答案为：B．

【分析】连接OA、OB、OD．根据三角形的外接圆的圆心的意义可得OA=OB=OC，由正方形的性质可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心，而OA=OE≠OD，所以根据三角形的外接圆的圆心的意义可得O不是△AED的外心.。

2.【答案】A

【考点】圆的认识

【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，

则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，

∵∠AMN=30°，

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，

∵点B为劣弧AN的中点，

∴∠BON= ∠AON= ×60°=30°，

由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，

∴△AOB′是等腰直角三角形，

∴AB′= OA= ×1= ．

，

即PA+PB的最小值=

故选：A．

【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′= 3.【答案】B

【考点】三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心

【解析】【解答】解：三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①正确；

反之圆的内接三角形可以无数多个，所以②错误；

三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③正确；

反之圆的外切三角形可以有无数多个，④错误。

所以正确的命题有2个。

故答案为：B. 【分析】根据外心与内心的概念，分别分析即可判断对错。三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；反过来说圆的内接三角形可以无数多个；三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；反过来说圆的外切三角形可以有无数多个，从而可得出答案。

4.【答案】B

【考点】正多边形和圆

【解析】【分析】根据题意画出图形，设正方形边长a，连接OA、OB，过O作OE⊥AB，先求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠AOE的度数，由特殊角的三角函数值求出OA、OE的长，再求出两圆及正方形的面积即可．

OA，即为PA+PB的最小值．

【解答】

如图所示，设正方形边长a，连接OA、OB，过O作OE⊥AB；

∵∠AOB==90°，OA=OB，

∴∠AOE=∠AOB=×90°=45°，

∴AE=OE=，

OA=a，

∴内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为：OE：OA：AB=：2．

故选B．

a：a=1：：【点评】本题考查了正方形的内切圆、外接圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正方形及直角三角形的性质解答．

5.【答案】A

【考点】圆与圆的位置关系

【解析】【分析】根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离。

∵圆心O到直线l的距离是3m，小于⊙O的半径为4m，

∴直线l与⊙O相交。

【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离。

6.【答案】C

【考点】点与圆的位置关系

【解析】【解答】∵点到圆心的距离5，大于圆的半径，

∴点在圆外.故选C. 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d

，

则d＞r时，点在圆外；则d=r时，点在圆上；则d＜r时，点在圆内. 7.【答案】B

【考点】三角形的内切圆与内心

【解析】【解答】解：∵E是△ABC的内心，

∴∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB，

∵∠BEC=130°，

∴∠EBC+∠ECB=50°，

∴∠ABC+∠ACB=100°，

∴∠A=180°﹣100°=80°．

故选：B．

【分析】利用内心的性质得出∠ABE=∠EBC，∠ACE=∠ECB，进而利用三角形内角和定理得出∠EBC+∠ECB=50°，进而求出答案．

8.【答案】C

【考点】三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】解：如图所示，

连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，

∵△ABC是边长为6的等边三角形，BC=6，

∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，BD=3，

∴OB===2，

）2=12π；

∴外接圆的面积=π•（2故选：C．

【分析】先求出边长为6的正三角形的外接圆的半径，再求出其面积即可．

9.【答案】A

【考点】扇形面积的计算

【解析】【解答】解：∵∠BDC=30°，

∴∠BAC=60°，

∵AC=AB，

∴△ABC是等边三角形，

∵∠BAD=105°，

∴∠CAE=105°﹣60°=45°，

∵CE⊥AD，AC=AB=2 ∴AE=CE=2，

，

∴S△ACE=2，

S扇形ACD= =π，

∴阴影部分的面积为S扇形ACD﹣S△ACE=π﹣2，

故选A．

【分析】阴影部分的面积=S扇形ACD﹣S△ACE

，

根据面积公式计算即可．

10.【答案】B

【考点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=20°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．

根据翻折的性质，∴∠ADC+∠B=180°，

∴∠B=∠CDB=70°，

故选B．

所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，

【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到减去所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．

二、填空题

11.【答案】60；90

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】同弧所对的圆周角相等，所以∠ADB=60度，直径所对的圆周角等于90度. 【分析】根据圆周角的定义做题，要注意所给条件中等边三角形个内角的度数，及圆周角所对半圆弧的度数. 12.【答案】

【考点】弧长的计算

【解析】【解答】点D走过的路线长即DE弧=

【分析】根据旋转的性质可知旋转角为90度，△ADE是等腰直角三角形，腰长AD=2，则可用弧长公式求出P点走过的路线长．

13.【答案】35°

【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理

【解析】【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径，

∴∠C=90°，

∵∠BAC=20°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，

∵D是

∴∠DAC= 的中点，

∠B=35°．

故答案为：35°．

【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠B的度数，然后由D是

14.【答案】10

【考点】切线的性质

【解析】【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，

∴PA=PB=5；

同理，可得：EC=CA，DE=DB；

∴△PDC的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=10．

即△PCD的周长是10．

【分析】由于CA、CE，DE、DB都是⊙O的切线，可由切线长定理将△PCD的周长转换为PA、PB的长．

15.【答案】50

【考点】三角形的内切圆与内心

【解析】【解答】解：连接IF，ID，

∵点I是内心，

∴∠ADI=∠AFI=90°，

∵∠A=80°，

∴∠DIF=100°，

∴∠DEF=50°，

故答案为：50．

的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．

【分析】连接IF，ID，由点I是内心，得到∠ADI=∠AFI=90°，根据四边形的内角和得到∠DIF=100°，由圆周角定理即可得到结论．

16.【答案】40°

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，

∴

∵AB为直径，

∴

的度数为80°，

×80°=40°，

的度数为100°，

∴∠BDC= 故答案为：40°．

【分析】根据∠ABC=50°求出

17.【答案】9 ﹣3π

的度数为100°，求出

的度数为80°，即可求出答案．

【考点】切线的性质，扇形面积的计算

【解析】【解答】解：连接OC，

∵AB为圆O的切线，

∴OC⊥AB，

∵OA=OB=6，

∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=60°，

=3 ，

∴∠A=∠B=30°，AC=BC= ∴OC= 则S阴影= 0A=3，

AB•OC﹣S扇形= ﹣3π．

×6 ×3﹣

=9 ﹣3π．

故答案为：9 【分析】连接OC，由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到AB与OC垂直，在直角三角

形AOC中，由OA的长求出OC与AC，进而求出AB的长，根据三角形AOB面积减去扇形面积求出阴影部分面积即可．

18.【答案】10

【考点】圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，即有6个直角三角形，

AB是斜边时，点C共有4个位置，即有4个直角三角形，

综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．

故答案为：10．

【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．

19.【答案】

【考点】弧长的计算，正多边形的性质

【解析】【解答】解：连接CF，DF，

则△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60°．∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，∴∠BCF=48°，∴

的长= = π．故答案为：

π．

【分析】连接CF，DF，根据同圆的半径相等得出CD=CF=DF,则△CFD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠FCD=60°，根据正五边形的内角求法得出∠BCD=108°，根据角的和差得出∠BCF=48°，然后利用弧长计算公式即可算出答案。

三、解答题

20.【答案】解：证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

又∵∠DCB=∠A，

∴∠A+∠ABC=∠DCB+∠OCB=90°，

∴OC⊥DC，

∴CD是⊙O的切线．

【考点】切线的判定

【解析】【分析】连接OC，根据圆周角定理得出∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，根据等腰三角形性质得出∠∠OBC=∠OCB，∠A=∠ACO，即可求出∠OCB+∠DCB=90°，根据切线的判定推出即可．

21.【答案】解：（1）证明：∵PB是⊙O的切线，

∴∠ABP=∠AEB，

∵∠PEA=∠ABE．

∴∠PBE=∠PEB，

∴PB=PE；

（2）连接EC，延长DA交PB于F，

∵PB是⊙O的切线，

∴BC⊥PB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴EF⊥PB，

∵sin∠P=，

设PE=5a，EF=3a，则PF=4a，

∵PB=PE=5a，

∴BF=a，

∴BE==a，

∴=，

∵AD∥BC，

∴=，

∴AB=CE，

∵AB=CD，

∴CE=CD，

∴∠D=∠CED，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∵∠ABP=∠AEB，

∴∠ABP=∠EBC，

∴∠PBE=∠ABC，

∴∠PBE=∠D，

∵∠PBE=∠PEB，

∴△CDE∽△PBE，

∴==；

【考点】切线的性质

【解析】【分析】（1）根据切线的性质求得∠ABP=∠AEB，根据已知条件即可求得∠PBE=∠PEB，根据等角对等边即可证明结论；

（2）连接EC，延长DA交PB于F，根据平行弦的性质得出=，

进而求得AB=CE=CD，得出三角形CED是等腰三角形，在等腰三角形PBE中根据勾股定理求得BE的长，进而求得=，

由于∠AEB=∠EBC，∠ABP=∠AEB，得出∠ABP=∠EBC，从而得出

∠PBE=∠ABC=∠D，求得△CDE∽△PBE，得出22.【答案】证明：假设∠B，∠C都等于90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

又∵∠B=∠C=90°，

∴∠B+∠C=180°，

==；

∴∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形内角和定理相矛盾，

∴假设不成立，即∠B，∠C不可能等于90°．

【考点】反证法

【解析】【分析】首先假设∠B，∠C都等于90°，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出即可．

四、综合题

23.【答案】（1）证明：连接OD．

∵AB是直径，

∴∠BDA=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

又∵∠CDA=∠CBD，

∴∠CDA+∠ODA=90°，即∠ODC=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）OC=BC﹣OB=18﹣5=13，

直角△OCD中，OD=OB=5，

CD= ∵BE是圆的切线，

∴∠EBC=90°，

同理∠ODC=90°，

∴∠EBC=∠ODC，

又∵∠C=∠C，

= =12，

∴△EBC∽△ODC，

∴

= ，即

= ，

解得：BE= ．

【考点】切线的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接OD，根据AB所对的角是直角，以及等边对等角，证明∠ODC=90°，则可以证得；（2）在直角△ODC中利用勾股定理求得CD的长，然后根据△ABC∽△ODC，利用相似三角形的对应边相等即可求解．

24.【答案】（1）解：设⊙O的半径为R，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠OBC=90°，

∴OB2+BC2=OC2

，

即R2+42=（R+2）2

，

解得：R=3，

即⊙O的半径为3 （2）解：DF与⊙O相切；理由如下：

如图所示：连接BD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDE=90°，

∵F是BE的中点，

∴DF= BE=BF，

∴∠DBF=∠BDF，

∵∠DBF+∠OBD=90°，

∴∠BDF+∠ODB=90°，

∴DF⊥OD，

∴DF与⊙O相切．

【考点】切线的性质

【解析】【分析】（1）设⊙O的半径为R，由切线的性质得出∠OBC=90°，由勾股定理得出方

程，解方程即可；（2）连接BD，由等腰三角形的性质得出∠OBD=∠ODB，由圆周角定理得出∠ADB=90°，求出∠BDE=90°，由直角三角形的性质得出DF= 证出∠BDF+∠ODB=90°，即可得出结论．

BE=BF，得出∠DBF=∠BDF，