正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学实录

《24.3.1 正多边形和圆》教案

课题

24.3

正多边形和圆

授课人

知识技能

使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用教等分圆周画圆的内接正多边形的方法；

学数学思考

使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形象思维；

目问题解决

使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图标

案，发展学生的实践能力和创新精神；

情感态度

通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．

教学重理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其中的关系；

点

教学难探索正多边形和圆的关系；

点

授课类新授课

课时

第一课时

型

教具

多媒体

教学活动

教学步师生活动

设计意图

骤

回顾以前（（多媒体演示）

问题：

学习过的回1.切线长定理的内容是什么？请画出一个三角形的内切圆. 且对本节顾

2.请画出垂径定理的基本图形，并说明其中的数量关系. 课的学习3.什么是正多边形？你对正多边形有多少了解呀？

有基础作师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解. 用的知识，为学

习新知打下基础. 活创设情动境，激发一：

【课堂引入】

创（课件展示）观看美丽的图案（如课本105页图片），提出问题：

学生主动设（1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常见到的物体，你将圆的知情能从这些图案中找出正多边形吗？

识与正多境

（2）你知道正多边形和圆有关系吗？怎样作出一个正多边形呢？

边形联系导师生活动：教师引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见起来，激入解. 发学生积新教师关注：①学生能否从图案中找出正多边形；②学生能否从图案中极探索，课

发现正多边形和圆的关系. 调动学生学习积极

性. 1.探究新知

1.将结论问题1：将一个圆分为五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这由特殊推五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论. 广到一

师生活动：教师演示作图并引导学生从正多边形的般，符合

定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学学生的认

生完成证明过程. 知规律，

教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：

并交给学活如图，

生一种研动∵ABBCCDDEEA，∴ABBCCDDEEA，

究问题的二：

方法.

BADCAE3AB，∴

CD，

2.教学中，

同理可证：ABCDE，

使学生明实确圆内正践∴

五边形ABCDE是正五边形．

多边形必探∵A、B、C、D、E在⊙O上，

须满足各究

∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．

边相等，交问题2：如果将圆n等分，依次连接各顶点得到一个n边形，这个n各角相流边形一定是正n边形. 等，培养新师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总学生严谨知

结. 的态度和教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接思维批判正n边形. 性. 问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接3.通过学生探索、

正多边形呢？如果是为什么？请说明，不是，请说明理由. 归纳，教师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解. 给学生等教师重点关注：

分圆周的学生能否利用正多边形的定义进行判断；

方法，尤学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等，及弦所对的弧相其是尺规等；

作正方学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形. 形、正六2.应用新知

边形．

活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念. 教师提出问题：

（1）正多边形的中心角怎么计算？

（2）边长a，半径R，边心距r有什么关系？

（3）正多边形的面积如何计算？

师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论：

正n边形的中心角等于360°÷n，(a)2r2R22. 活动二：提出问题：如何把一个圆进行n等分呢？

师生活动：学生小组内讨论，得到如果把中心角n等分则弧被n等分，即可得到正多边形. 教师引导分析：

①正方形的中心角为90°，说明两条半径互相垂直；

②正六边形的中心角为60°，说明半径和边长构成等边三角形；

【应用举例】

学生在教活（课件展示）

师的引导动例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正下，将正三：

六边形，求地基的周长和面积. 多边形的开师生活动：教师引导学生画出图形，进行分析，完成中心、半放例题的解答. 径、中心训教师总结：正六边形中由相邻的半径和边组成的三角形为等边三角角、边心练

形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍；正六边距等一些体形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积量集中在现再乘以6即可. 一个三角应【拓展提升】

形中研用

（课件展示）

究，可以例2：已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三利用勾股角形．

定理进行

师生活动：学生先独立解决问题,然后小组中讨论,鼓励学生勇于探索计算，进实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题而能够求过程. 得正多边形的所有量，教师引导学生将实际问

题转化为方法一：

数学问①用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°；

题，将多②连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形；

边形问题方法二：

转化为三①用量角器画圆心角∠BOC=120°；

角形问题. ②在⊙O上用圆规截取弧AC=弧AB；

③连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：

①作直径AD；

②以O为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

③连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：

①作直径AE；

②分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

③连接AB，BC，CA（或连接EF，ED，DF），则△ABC（或△EFD）为圆内接正三角形．

【达标测评】

达标测评1. 圆内接正六边形一边所对的圆周角是（

）

是为了加A.30°

B.60°

C.150°

D.30°或深对所学150°

知识的理2.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的解运用，边数是（

）

在问题的

A.4

B.6

C.8

选

择上以D.12．

基础为3.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的主、疑难直径最小要____________cm．

点突出，4.有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住增加开放这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm．

型、探究5.如图，已知⊙O的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，型问题，

交OB于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二使学生思边形的边长．

维得到拓展、能力得以提升.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案. 1.课堂总结：

巩固、梳（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？

理所学知（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？

识.对学生2.布置作业：

进行鼓教材第108页，习题第1、2题；

励、进行思想教育. 【板书设计】

提纲挈领，重点突出

活动

四：【教学反思】

反思教学课①[授课流程反思] 过程和教堂A.复习回顾□

B.创设情景□

C. 探究新知□

D.课堂训练

□

E. 师表现，总课堂总结□

进一步提结在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联系的，是可以升操作流反相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识的能力和解决实际问程和自身思

题的能鼓励，渗透数形结合的思想和方法. 素质. ②[讲授效果反思] A.重点□

B.难点

□

C.易错点

□

D. □

E. □

引导学生注意了这几点：（1）正多边形的相关概念；（2）正多边形中的相关计算；

③ [师生互动反思] 从学生课堂发言和表现来看，学生能够主动参与，亲身体验知识的发生和发展过程，学有所获，学有所张. ④ [练习反思] 好题题号检测第3、4题. 错题题号