正多边形的有关计算精品学案

24.3 正多边形和圆（第1课时）

教学目标：

知识与技能目标：

使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系。

过程与方法目标：

通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力。进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

情感与态度目标：

体会事物之间是相互联系的，相互作用的。

教学重点和难点

重点：正多边形概念、正多边形与圆的关系。

难点：对正多边形与圆的关系的探索。

一．课堂导入

观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？

提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

3．它们是轴对称图形，还是中心对称图形？

二．合作交流

探究新知

1．正多边形的概念

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

（矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等。）

2．正多边形与圆的关系

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙O中，= = = =

，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

引导学生分析、归纳证明思路：由弧相等去证明五边形的五条边相等和五个内角相等。

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形

3.正多边形的有关概念

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

正n边形的每个中心角都等于

．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

三、应用迁移

问题1

已知：正六边形ABCDEF．

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

问题2

已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于

度，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a

在Rt△OAM中，OA=a，AM=

AB=

利用勾股定理，可得边心距

OM=

∴所求正六边形的面积=

四、巩固练习

1.正n边形的一个内角的度数是_________;

中心角是___________; 2.正多边形的中心角与外角的大小________，都等于

3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的_______. 4.正方形ABCD的内切圆的半径叫做正方形ABCD的_________. 5.正六边形ABCDEF的中心角度数是

,外角度数是：

6..在正三角形、正五边形、正十边形和正十五边形中，既是轴对称又是中心对称的个数是（

）

A. 1个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4个

7.若一个正多边形的每一个内角都等于120°,

则它是

（

）

A.正方形

B.正五边形

C.正六边形

D.正八边形

8.一个正多边形的内角和为720°，这个正多边形是(

) A.正方形

B.正五边形

C.正六边形

D.正八边形

9.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（

）．

A．60°

B．45°

C．30°

D．22．5°

五、归纳小结，布置作业

1．小结

学生归纳，总结发言老师点评

本节课应掌握：

①正多边的有关概念，正多边形与圆的关系

②正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．

③运用以上的知识解决实际问题．

2．布置作业

书面作业：P108

1、4、6